Лицей №239 из 7 в 8 класс 2005 год вариант 2
Печать
youit.school ©
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ЛИЦЕЙ №239
2005 год
Вариант 2
- Решите уравнение:
\[
\frac{x - 2}{5}
- \frac{5 - 2x}{4}
+ \frac{4x - 1}{20}
= 4 - x.
\]
- Представьте число 200 в виде разности так, что 30% уменьшаемого равны 70% вычитаемого.
- Вычислите:
\[
\frac{\bigl(14^3\bigr)^3}{7^8 \cdot 8^3}.
\]
- Упростите выражение и найдите его значение при $x = -1{,}6$, $y = 0{,}5$:
\[
(3x + y)^2
+ (2y + 5x)(5x - 2y)
- (2x - y)(17x + y).
\]
- Разложите на множители:
\[
a^4 + 4.
\]
- Сократите дробь:
\[
\frac{5a^2 + 7a + 2}{3a^2 + a - 2}.
\]
- Выполните действия:
\[
\frac{a^{2} + 6a + 9}{a}
\;\bigg/\;
\Bigl(\frac{a^{3} - 27}{a^{2} - 3a} - a\Bigr)
\;-\;
\frac{a}{3}.
\]
- Найдите значения $k$ и $b$ функции вида $y = kx + b$, если известно, что график функции проходит через точки $A(4;6)$ и $B(-2;-6)$. Найдите координаты точки пересечения этого графика с прямой $y = -3$.
- Постройте график функции:
\[
y = 4\lvert x\rvert - 3.
\]
- В прямоугольном треугольнике $ABC$ с гипотенузой $AC$, равной 12 см, проведена высота $BD$. Найдите $CD$ и $DA$, если угол $A = 30^\circ$.
Материалы школы Юайти
youit.school ©
Решения задач
- Решите уравнение:
\[
\frac{x - 2}{5} - \frac{5 - 2x}{4} + \frac{4x - 1}{20} = 4 - x.
\]
Решение:
Умножим все члены уравнения на общий знаменатель 20: \[4(x-2) -5(5-2x) + (4x-1) = 80 -20x.\]
Раскроем скобки и приведем подобные: \[4x -8 -25 +10x +4x -1 = 80 -20x\] \[18x -34 = 80 -20x\] \[38x = 114\] \[x=3.\]
Проверка: подстановка в исходное уравнение подтверждает верность решения.
Ответ: \(3\).
- Представьте число 200 в виде разности так, что 30% уменьшаемого равны 70% вычитаемого.
Решение:
Пусть уменьшаемое \(a\), вычитаемое \(b\).
\( \begin{cases} a - b = 200,\\ 0,3a = 0,7b. \end{cases} \)
Из второго уравнения: \(a = \frac{7}{3}b\). Подставляем в первое: \[\frac{7}{3}b - b = 200 \quad \Rightarrow \quad \frac{4}{3}b = 200 \quad \Rightarrow \quad b = 150.\] \( a = \frac{7}{3} \cdot 150 = 350.\)
Проверка: \(350 -150 =200\); \(0,3\cdot350 =105\), \(0,7\cdot150 =105\).
Ответ: \(350 -150\).
- Вычислите:
\[
\frac{\bigl(14^3\bigr)^3}{7^8 \cdot 8^3}.
\]
Решение:
Преобразуем выражения: \[ \frac{(2^3 \cdot7^3)^3}{(7^8 \cdot(2^3)^3)} = \frac{2^9 \cdot7^9}{2^9 \cdot7^8} = 7^{9-8} = 7. \]
Ответ: \(7\).
- Упростите выражение и найдите его значение при \(x = -1{,}6\), \(y = 0{,}5\):
\[
(3x + y)^2 + (2y + 5x)(5x - 2y) - (2x - y)(17x + y).
\]
Решение:
Раскроем последовательно: \[ (3x+y)^2 =9x^2 +6xy +y^2,\quad (2y+5x)(5x-2y)=25x^2 -4y^2,\quad (2x-y)(17x+y)=34x^2 -15xy -y^2. \]
После упрощения и объединения подобных получаем: \[21xy -2y^2.\]
Подстановка: \[21\cdot(-1{,}6)\cdot0{,}5 -2\cdot0{,}5^2 = -16{,}8 -0{,}5 = -17{,}3.\]
Ответ: \(-17{,}3\).
- Разложите на множители:
\[
a^4 + 4.
\]
Решение: \[ a^4 +4 = (a^2 +2a +2)(a^2 -2a +2). \]
Ответ: \((a^2 +2a +2)(a^2 -2a +2)\).
- Сократите дробь:
\[
\frac{5a^2 +7a +2}{3a^2 +a -2}.
\]
Решение:
Разложим числитель и знаменатель на множители: \[ \frac{(5a+2)(a+1)}{(3a-2)(a+1)} = \frac{5a+2}{3a-2}. \]
Ответ: \(\frac{5a+2}{3a-2}\).
- Выполните действия:
\[
\frac{a^{2} +6a +9}{a} \;\bigg/\; \Bigl(\frac{a^{3} -27}{a^{2} -3a} -a\Bigr) \;-\; \frac{a}{3}.
\]
Решение:
Упрощение внутренних выражений: \[ \frac{a^{3}-27}{a^{2}-3a} -a = \frac{(a-3)(a^2+3a+9)}{a(a-3)} -a = \frac{a^2+3a+9}{a} -a = \frac{3a+9}{a} = \frac{3(a+3)}{a}. \]
После деления и упрощения: \[ \frac{(a+3)^2}{a} \cdot \frac{a}{3(a+3)} = \frac{a+3}{3}. \]
Вычитание последнего слагаемого: \[ \frac{a+3}{3} - \frac{a}{3} = 1. \]
Ответ: \(1\).
- Найдите значения \(k\) и \(b\) функции вида \(y =kx +b\), если график проходит через точки \(A(4;6)\) и \(B(-2;-6)\). Найдите точку пересечения с \(y = -3\).
Решение:
Система уравнений: \[ \begin{cases} 4k +b =6,\\ -2k +b =-6. \end{cases} \] \[ 6k =12 \Rightarrow k=2;\quad b=6 -8 =-2. \]
Уравнение: \(y=2x -2\). Поиск точки пересечения: \[ -3 =2x -2 \Rightarrow x= -0{,}5. \]
Ответ: \(k=2\), \(b=-2\); точка (\(-0{,}5; -3\)).
- Постройте график функции:
\[
y=4\lvert x\rvert -3.
\]
Решение:
График получается из \(y=|x|\) вертикальным растяжением в 4 раза и сдвигом на 3 единицы вниз. Вершина в \((0; -3)\). Ветви направлены вверх с угловыми коэффициентами 4 (\(x \geq0\)) и \(-4\) (\(x <0\)).
- В прямоугольном треугольнике \(ABC\) с гипотенузой \(AC=12\) см, проведена высота \(BD\). Найдите \(CD\) и \(DA\) (\(\angle A=30^\circ\)).
Решение:
Катеты: \[ BC = \frac{AC}{2}=6~\text{см}; \quad AB=AC\cdot\cos30^\circ=12\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=6\sqrt{3}~\text{см}. \]
Высота \(BD = \frac{AB \cdot BC}{AC} =3\sqrt{3}\) см. Отрезки гипотенузы: \[ DA =\frac{AB^2}{AC} =\frac{(6\sqrt{3})^2}{12}=9~\text{см}; \quad CD=AC -DA=12-9=3~\text{см}. \]
Ответ: \(DA=9\) см, \(CD=3\) см.
Материалы школы Юайти