Лицей №239 из 7 в 8 класс 2005 год вариант 1

ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ЛИЦЕЙ №239

2005 год

Вариант 1

1. Решите уравнение: \[ \frac{2x - 3}{5} \;-\;\frac{1 - x}{4}\;+\;\frac{5x + 1}{20} \;=\;3 - x. \]
2. Представьте число 200 в виде двух слагаемых, таких, что 25% одного равны $37{,}5\%$ другого.
3. Вычислите: \[ \frac{\bigl(6^4\bigr)^2}{4^4 \cdot 9^5}. \]
4. Упростите выражение и найдите его значение при \(a=-1{,}2\); \(b=0{,}5\): \[ (2a - b)^2 \;+\;(3b + 4a)(4a - 3b)\;-\;(4a - 5b)(5a + 4b). \]
5. Разложите на множители: \[ a^4 - a^2 - 2a - 1. \]
6. Сократите дробь: \[ \frac{2a^2 + 3a - 5}{4a^2 - 9a + 5}. \]
7. Выполните действия: \[ \Bigl(c - \frac{c^3 + 8}{2c + c^2}\Bigr)\;\cdot\;\frac{c}{c^2 - 4c + 4}\;+\;\frac{2}{2 - c}. \]
8. Найдите значения \(k\) и \(b\) функции вида \(y = kx + b\), если известно, что график проходит через точки \(M(3;9)\) и \(N(-6;-9)\). Найдите координаты точки пересечения этого графика с прямой \(y = 6\).
9. Постройте график функции: \[ y = \lvert 4x - 3\rvert. \]
10. В прямоугольном треугольнике \(ABC\) с гипотенузой \(BC\) и углом \(B = 60^\circ\) проведена высота \(AD\). Найдите \(DC\), если \(DB = 2\text{ см}\).

Решения задач

1. Решите уравнение: \[ \frac{2x - 3}{5} \;-\;\frac{1 - x}{4}\;+\;\frac{5x + 1}{20} \;=\;3 - x. \] Решение: \[ 20\cdot\left(\frac{2x-3}{5}\right) -20\cdot\left(\frac{1-x}{4}\right)+20\cdot\left(\frac{5x+1}{20}\right)=20\cdot(3-x) \] \[ 4(2x-3)-5(1-x)+(5x+1)=60-20x \] \[ 8x-12-5+5x+5x+1=60-20x \] \[ 18x -16 = 60 -20x \Rightarrow 38x =76 \Rightarrow x=2 \] Проверка: \[ \frac{1}{5} + \frac{1}{4} + \frac{11}{20} =1\;=3-2 \] Ответ: 2.
2. Представьте число 200 в виде двух слагаемых, таких, что 25% одного равны 37,5% другого. Решение: Пусть слагаемые $a$ и $200 - a$. \[ 0,25a =0,375(200 -a) \quad \Rightarrow \quad 0,625a =75 \quad \Rightarrow \quad a=120 \] Проверка: $25\%$ от 120 = 30; $37,5\%$ от 80 = 30 Ответ: 120 и 80.
3. Вычислите: \[ \frac{\bigl(6^4\bigr)^2}{4^4 \cdot 9^5} \] Решение: \[ \frac{(2^4 \cdot3^4)^2}{(2^2)^4 \cdot(3^2)^5} =\frac{2^8 \cdot3^8}{2^8 \cdot3^{10}} =\frac{1}{3^2} =\frac{1}{9} \] Ответ: $\frac{1}{9}$.
4. Упростите выражение и найдите его значение при \(a=-1{,}2\); \(b=0{,}5\): \[ (2a - b)^2 + (3b + 4a)(4a - 3b) - (4a - 5b)(5a + 4b) \] Решение: \[ (4a^2 -4ab +b^2) + (16a^2 -9b^2) - (20a^2 +16ab -25ab -20b^2) \] \[ =5ab +12b^2 \] Подстановка: \[ 5\cdot(-1,2)\cdot0,5 +12\cdot(0,5)^2 = -3 +3=0 \] Ответ: 0.
5. Разложите на множители: \[ a^4 -a^2 -2a -1 \] Решение: \[ a^4 -(a^2 +2a +1) =(a^2)^2 -(a+1)^2 =(a^2 -a -1)(a^2 +a +1) \] Ответ: \((a^2 -a -1)(a^2 +a +1)\).
6. Сократите дробь: \[ \frac{2a^2 +3a -5}{4a^2 -9a +5} \] Решение: \[ \frac{(a-1)(2a+5)}{(a-1)(4a-5)} =\frac{2a+5}{4a-5} \] Ответ: \(\frac{2a+5}{4a-5}\).
7. Выполните действия: \[ \Bigl(c - \frac{c^3 +8}{2c +c^2}\Bigr)\;\cdot\;\frac{c}{c^2 -4c +4}\;+\;\frac{2}{2 -c} \] Решение: \[ \frac{c^3 +8}{c(2 +c)} =\frac{(c+2)(c^2 -2c +4)}{c(c+2)} =\frac{c^2 -2c +4}{c} \] \[ c - \frac{c^2 -2c +4}{c} =\frac{2c -4}{c} \] \[ \frac{2(c -2)}{c} \cdot\frac{c}{(c-2)^2} =\frac{2}{c-2} \] \[ \frac{2}{c -2} + \frac{2}{2 -c} =0 \] Ответ: 0.
8. Найдите значения \(k\) и \(b\) функции вида \(y =kx +b\). Данные точки \(M(3;9)\) и \(N(-6;-9)\): \[ \begin{cases} 9=3k +b \\ -9 =-6k +b \end{cases} \Rightarrow 18=9k \Rightarrow k=2; b=3 \] Пересечение с \(y =6\): \[ 2x +3=6 \Rightarrow x=1{,}5 \] Ответ: \(k=2\), \(b=3\); точка пересечения \((1{,}5; 6)\).
9. Постройте график функции \(y =\lvert4x -3\rvert\). График модуля имеет вершину в точке \(x =\frac{3}{4}\), ветви направлены вверх: \[ y=4x -3 \text{при} x \geq\frac{3}{4}; y=-4x +3 \text{при} \\ x <\frac{3}{4} \]
10. В прямоугольном треугольнике \(ABC\) с гипотенузой \(BC\) и углом \(B = 60^\circ\) проведена высота \(AD\). Найдите \(DC\), если \(DB = 2\text{ см}\). Решение: Из \(\triangle ABD\): \[ AD=DB \cdot\tan60^\circ=2\sqrt{3} \] Из свойств высоты в прямоугольном треугольнике: \[ AD^2 =BD \cdot \Rightarrow (2\sqrt{3})^2 =4 \cdot 3 \Rightarrow DC=6 \text{ см} \] Ответ: 6 см.