Лицей №239 из 7 в 8 класс 2004 год вариант 2
Печать
youit.school ©
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ЛИЦЕЙ №239
2004 год
Вариант 2
- Решите уравнение: \[ \frac{3x + 11}{2} \;-\;\frac{2x + 7}{3} \;=\; 4x. \]
- Решите задачу:
Теплоход прошёл расстояние между пунктами \(A\) и \(B\) по течению за 4 ч 30 мин, а из \(B\) в \(A\) против течения он прошёл за 6 ч 18 мин. Какова скорость теплохода в стоячей воде, если скорость течения реки равна 2,4 км/ч? - Вычислите: \[ \frac{6^6}{2^7\cdot 3^5}. \]
- Решите уравнение: \[ (x+2)(x^2 -2x+4)\;-\;x(x+2)(x-2)\;=\;12. \]
- Сократите дробь: \[ \frac{9x^2 - 6xy + y^2}{15x^2 - 5xy}. \]
- Выполните действия: \[ \biggl(3 - \frac{9 + 4b^2}{3 + 2b}\biggr)\;\cdot\;\Bigl(\frac{1}{2b} + \frac{2}{3 - 2b}\Bigr). \]
- Постройте треугольник, ограниченный прямыми \[ y = \frac{2}{3}x - 2,\quad y = -\frac{2}{3}x + 2 \quad\text{и осью }Oy. \]
- Прямая \(y = kx + b\) проходит через точки \(A(2;1)\) и \(B(-4;10)\). Найдите \(k\) и \(b\), а также координаты точки пересечения этой прямой с прямой \(3x - y = 5\).
- Разложите на множители: \[ x^4 + 3x^2 + 4. \]
- В равнобедённом треугольнике один из углов равен \(120^\circ\), а высота, проведённая к боковой стороне, равна 17 см. Найдите основание треугольника.
Материалы школы Юайти
youit.school ©
Решения задач
- Решите уравнение:
\[
\frac{3x + 11}{2} \;-\;\frac{2x + 7}{3} \;=\; 4x.
\]
Решение:
Умножим обе части на 6 для устранения знаменателей:
$3(3x + 11) - 2(2x + 7) = 24x$
$9x + 33 - 4x - 14 = 24x$
$5x + 19 = 24x$
$19 = 19x \quad \Rightarrow \quad x = 1$
Проверка:
$\frac{3 \cdot 1 + 11}{2} - \frac{2 \cdot 1 + 7}{3} = \frac{14}{2} - \frac{9}{3} = 7 - 3 = 4 \cdot 1 = 4$
Ответ: 1.
- Решите задачу:
Теплоход прошёл расстояние между пунктами \(A\) и \(B\) по течению за 4 ч 30 мин, а из \(B\) в \(A\) против течения он прошёл за 6 ч 18 мин. Какова скорость теплохода в стоячей воде, если скорость течения реки равна 2,4 км/ч?
Решение:
4 ч 30 мин = 4,5 часа; 6 ч 18 мин = 6,3 часа. Пусть скорость теплохода в стоячей воде \(x\) км/ч. Тогда:
$(x + 2,4) \cdot 4,5 = (x - 2,4) \cdot 6,3$
Упростим:
$4,5x + 10,8 = 6,3x - 15,12$
$25,92 = 1,8x \quad \Rightarrow \quad x = \frac{25,92}{1,8} = 14,4$ км/ч
Ответ: 14,4 км/ч.
- Вычислите:
\[
\frac{6^6}{2^7\cdot 3^5}
\]
Решение:
Представим числитель и знаменатель в виде степеней:
$\frac{(2 \cdot 3)^6}{2^7 \cdot 3^5} = \frac{2^6 \cdot 3^6}{2^7 \cdot 3^5} = \frac{3}{2} = 1,5$
Ответ: 1,5.
- Решите уравнение:
\[
(x+2)(x^2 -2x+4)\;-\;x(x+2)(x-2)\;=\;12
\]
Решение:
Раскроем скобки:
$(x^3 - 2x^2 + 4x + 2x^2 - 4x + 8) - x(x^2 - 4) = 12$
Упростим:
$x^3 + 8 - x^3 + 4x = 12$
$4x + 8 = 12 \quad \Rightarrow \quad 4x = 4 \quad \Rightarrow \quad x = 1$
Ответ: 1.
- Сократите дробь:
\[
\frac{9x^2 - 6xy + y^2}{15x^2 - 5xy}
\]
Решение:
Разложим числитель и знаменатель:
Числитель: $(3x - y)^2$
Знаменатель: $5x(3x - y)$
Сократим на общий множитель: $\frac{(3x - y)^2}{5x(3x - y)} = \frac{3x - y}{5x}$
Ответ: $\frac{3x - y}{5x}$.
- Выполните действия:
\[
\biggl(3 - \frac{9 + 4b^2}{3 + 2b}\biggr)\;\cdot\;\Bigl(\frac{1}{2b} + \frac{2}{3 - 2b}\Bigr)
\]
Решение:
Упростим первую скобку:
$3 - \frac{9 + 4b^2}{3 + 2b} = \frac{(3)(3 + 2b) - 9 - 4b^2}{3 + 2b} = \frac{9 + 6b - 9 - 4b^2}{3 + 2b} = \frac{-4b^2 + 6b}{3 + 2b} = \frac{-2b(2b - 3)}{3 + 2b} = 2b$ (после сокращения на $(3 + 2b)$)
Упростим вторую скобку:
$\frac{1}{2b} + \frac{2}{3 - 2b} = \frac{3 - 2b + 4b}{2b(3 - 2b)} = \frac{3 + 2b}{2b(3 - 2b)}$
Перемножим результаты:
$2b \cdot \frac{3 + 2b}{2b(3 - 2b)} = \frac{3 + 2b}{3 - 2b}$
Ответ: $\frac{3 + 2b}{3 - 2b}$.
- Постройте треугольник, ограниченный прямыми
\[
y = \frac{2}{3}x - 2,\quad
y = -\frac{2}{3}x + 2
\quad\text{и осью }Oy.
\]
Решение:
1) Точки пересечения первой прямой с осями:
При \(x = 0\): \(y = -2\) → \((0, -2)\)
При \(y = 0\): \(x = 3\) → \((3, 0)\)
2) Точки пересечения второй прямой с осями:
При \(x = 0\): \(y = 2\) → \((0, 2)\)
При \(y = 0\): \(x = 3\) → \((3, 0)\)
3) Вершины треугольника:
\((0, -2)\), \((0, 2)\), точка пересечения прямых:
$\frac{2}{3}x - 2 = -\frac{2}{3}x + 2 \quad \Rightarrow \quad \frac{4}{3}x = 4 \quad \Rightarrow \quad x = 3 \quad \Rightarrow \quad y = 0$
Ответ: Треугольник вершинами в точках \((0, -2)\), \((0, 2)\), \((3, 0)\).
- Прямая \(y = kx + b\) проходит через точки \(A(2;1)\) и \(B(-4;10)\). Найдите \(k\) и \(b\), а также координаты точки пересечения этой прямой с прямой \(3x - y = 5\).
Решение:
Составим систему уравнений для \(k\) и \(b\):
\[ \begin{cases} 2k + b = 1 \\ -4k + b = 10 \end{cases} \]
Вычтем уравнения:
\(6k = -9 \quad \Rightarrow \quad k = -1,5\)
Подставим \(k\) в первое уравнение:
\(2 \cdot (-1,5) + b = 1 \quad \Rightarrow \quad b = 4\)
Координаты точки пересечения:
Решим систему: \[ \begin{cases} y = -1,5x + 4 \\ 3x - y = 5 \end{cases} \]
Подставим \(y\) во второе уравнение:
\(3x - (-1,5x + 4) = 5 \quad \Rightarrow \quad 4,5x = 9 \quad \Rightarrow \quad x = 2\)
\(y = -1,5 \cdot 2 + 4 = 1\)
Ответ: \(k = -1,5\), \(b = 4\); точка пересечения \((2, 1)\).
- Разложите на множители:
\[
x^4 + 3x^2 + 4
\]
Решение:
Представим выражение как квадрат:
\(x^4 + 4x^2 + 4 - x^2 = (x^2 + 2)^2 - x^2 = (x^2 + x + 2)(x^2 - x + 2)\)
Ответ: \((x^2 + x + 2)(x^2 - x + 2)\).
- В равнобедренном треугольнике один из углов равен \(120^\circ\), а высота, проведённая к боковой стороне, равна 17 см. Найдите основание треугольника.
Решение:
Пусть угол при вершине \(120^\circ\). Боковые стороны равны \(AB = BC = a\), основание \(AC\). Высота \(BH = 17\) см проведена к боковой стороне \(AC\). В треугольнике \(ABH\) угол при основании равен \(30^\circ\) (так как углы при основании равнобедренного треугольника с углом \(120^\circ\) при вершине равны \(30^\circ\)). Тогда:
\(BH = AB \cdot \sin 30^\circ = a \cdot \frac{1}{2} = 17 \quad \Rightarrow \quad a = 34\) см
Основание треугольника:
\(AC = 2 \cdot AB \cdot \cos 30^\circ = 2 \cdot 34 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 34\sqrt{3}\) см
Ответ: \(34\sqrt{3}\) см.
Материалы школы Юайти