Лицей №239 из 7 в 8 класс 2004 год вариант 1

ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ЛИЦЕЙ №239

2004 год

Вариант 1

1. Решите уравнение: \[ \frac{2x + 7}{3} - \frac{x - 3}{2} = 4x. \]
2. Решите задачу:
   
   Расстояние между городами \(A\) и \(B\) машина прошла за \(1\text{ ч }15\text{ мин}\). Обратный путь машина прошла за \(1\text{ ч }30\text{ мин}\). Найдите скорость машины, если известно, что на обратном пути скорость была на \(10\text{ км/ч}\) меньше.
3. Вычислите: \[ \frac{14^5}{2^6 \cdot 7^4}. \]
4. Решите уравнение: \[ (x+1)(x^2 - x + 1) - x(x+3)(x-3) = 10. \]
5. Сократите дробь: \[ \frac{a^2 - 14ab + 49b^2}{49b^2 - 7ab}. \]
6. Выполните действия: \[ \biggl(a - \frac{a^2 + 9}{a+3}\biggr) \colon \Bigl(\frac{1}{3} + \frac{2}{a-3}\Bigr). \]
7. Постройте треугольник, ограниченный прямыми \[ y = \frac{2}{3}x + 2,\quad y = -\frac{2}{3}x - 2 \quad\text{и осью }Oy. \]
8. Известно, что прямая, заданная уравнением \(y = kx + b\), проходит через точки \(A(4,-6)\) и \(B(-8,-12)\). Найдите \(k\) и \(b\), а также координаты точки пересечения этой прямой с прямой \(2x + y = 2\).
9. Разложите на множители: \[ x^4 + 5x^2 + 9. \]
10. В равнобедённом треугольнике один из углов равен \(120^\circ\), а основание треугольника равно \(10\) см. Найдите высоту, проведённую к боковой стороне.

Решения задач

1. Решите уравнение: \[ \frac{2x + 7}{3} - \frac{x - 3}{2} = 4x. \]
   Решение: Умножим обе части уравнения на 6:
   \[ 2(2x + 7) - 3(x - 3) = 24x \]
   Раскроем скобки: \[ 4x + 14 - 3x + 9 = 24x \implies x + 23 = 24x \]
   Решаем уравнение: \[ 23x = 23 \implies x = 1 \]
   Ответ: 1.
   
   
2. Решите задачу: Расстояние между городами \(A\) и \(B\) машина прошла за \(1\text{ ч }15\text{ мин}\). Обратный путь машина прошла за \(1\text{ ч }30\text{ мин}\). Найдите скорость машины, если известно, что на обратном пути скорость была на \(10\text{ км/ч}\) меньше.
   Решение: Пусть скорость в одну сторону — \(v\) км/ч, тогда обратная скорость — \(v - 10\) км/ч.
   Время туда: \(1,25\) ч, обратно: \(1,5\) ч.
   Уравнение для расстояния: \[ 1,25v = 1,5(v - 10) \]
   Решаем: \[ 1,25v = 1,5v - 15 \implies 0,25v = 15 \implies v = 60 \text{ км/ч} \]
   Ответ: 60 км/ч.
   
   
3. Вычислите: \[ \frac{14^5}{2^6 \cdot 7^4}. \]
   Решение: Представим \(14\) как \(2 \cdot 7\): \[ \frac{(2 \cdot 7)^5}{2^6 \cdot 7^4} = \frac{2^5 \cdot 7^5}{2^6 \cdot 7^4} = \frac{7}{2} = 3,5 \]
   Ответ: 3,5.
   
   
4. Решите уравнение: \[ (x+1)(x^2 - x + 1) - x(x+3)(x-3) = 10. \]
   Решение: Воспользуемся формулой суммы кубов и разностью квадратов: \[ x^3 + 1 - x(x^2 - 9) = 10 \]
   Упростим: \[ x^3 + 1 - x^3 + 9x = 10 \implies 9x = 9 \implies x = 1 \]
   Ответ: 1.
   
   
5. Сократите дробь: \[ \frac{a^2 - 14ab + 49b^2}{49b^2 - 7ab}. \]
   Решение: Разложим числитель и знаменатель: \[ \frac{(a - 7b)^2}{7b(7b - a)} = \frac{(a - 7b)^2}{-7b(a - 7b)} = -\frac{a - 7b}{7b} = \frac{7b - a}{7b} \]
   Ответ: \(\dfrac{7b - a}{7b}\).
   
   
6. Выполните действия: \[ \biggl(a - \frac{a^2 + 9}{a+3}\biggr) \colon \Bigl(\frac{1}{3} + \frac{2}{a-3}\Bigr). \]
   Решение: Упростим числитель: \[ \frac{a(a + 3) - (a^2 + 9)}{a + 3} = \frac{3a - 9}{a + 3} = \frac{3(a - 3)}{a + 3} \]
   Упростим знаменатель: \[ \frac{a - 3 + 6}{3(a - 3)} = \frac{a + 3}{3(a - 3)} \]
   Перемножим: \[ \frac{3(a - 3)}{a + 3} \cdot \frac{3(a - 3)}{a + 3} = \frac{9(a - 3)^2}{(a + 3)^2} \]
   Ответ: \(\dfrac{9(a-3)^2}{(a+3)^2}\).
   
   
7. Постройте треугольник, ограниченный прямыми \[ y = \frac{2}{3}x + 2,\quad y = -\frac{2}{3}x - 2 \quad\text{и осью }Oy. \]
   Решение: Найдём точки пересечения:
   • С центром \(Oy\) (\(x = 0\)): \(y = 2\) и \(y = -2\) → точки \((0; 2)\) и \((0; -2)\).
   • Пересечение прямых: \(\dfrac{2}{3}x + 2 = -\dfrac{2}{3}x - 2\) → \(x = -3\), \(y = 0\) → точка \((-3; 0)\).
   
   Вершины треугольника: \((0; 2)\), \((0; -2)\), \((-3; 0)\).
   
   
8. Известно, что прямая, заданная уравнением \(y = kx + b\), проходит через точки \(A(4,-6)\) и \(B(-8,-12)\). Найдите \(k\) и \(b\), а также координаты точки пересечения этой прямой с прямой \(2x + y = 2\).
   Решение: Найдём угловой коэффициент \(k\): \[ k = \frac{-12 - (-6)}{-8 - 4} = \frac{-6}{-12} = 0,5 \]
   Найдём \(b\) подстановкой точки \(A\): \[ -6 = 0,5 \cdot 4 + b \implies b = -8 \]
   Пересечение прямых: \[ 2x + (0,5x - 8) = 2 \implies 2,5x = 10 \implies x = 4, \quad y = -6 \]
   Ответ: \(k = 0,5\), \(b = -8\), точка пересечения \((4; -6)\).
   
   
9. Разложите на множители: \[ x^4 + 5x^2 + 9. \]
   Решение: Представим многочлен как: \[ x^4 + 6x^2 + 9 - x^2 = (x^2 + 3)^2 - x^2 = (x^2 + 3 - x)(x^2 + 3 + x) \]
   Ответ: \((x^2 - x + 3)(x^2 + x + 3)\).
   
   
10. В равнобедрённом треугольнике один из углов равен \(120^\circ\), а основание треугольника равно \(10\) см. Найдите высоту, проведённую к боковой стороне.
    Решение: Угол \(120^\circ\) — при вершине. Боковые стороны \(AB = AC = \dfrac{10}{\sqrt{3}}\) (по теореме косинусов).
    Площадь треугольника: \[ S = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot \frac{5}{\sqrt{3}} \cdot \sin 30^\circ = \frac{25\sqrt{3}}{3} \]
    Высота к боковой стороне: \[ h = \frac{2S}{AB} = \frac{50\sqrt{3}/3}{10/\sqrt{3}} = 5 \text{ см} \]
    Ответ: 5 см.