8 800 707 6729
8 800 707 6729Telegram канал

Лицей №239 из 7 в 8 класс 2003 год вариант 2

Сложность:
Дата экзамена: 2003
Печать
youit.school ©

ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ЛИЦЕЙ №239


2003 год


Вариант 2



  1. Найти положительное число, если 27% от него равны 90% от его квадрата.
  2. Верно ли, что при любом натуральном \(n\) значение выражения \[ \frac{(n^2 - 4)\bigl(n^4 + 4n^2 + 16\bigr)}{n^3 + 8} \] является целым числом? (Ответ обоснуйте.)
  3. Постройте треугольник, ограниченный прямыми \[ y = \tfrac{2}{3}x - 2, \quad y = -\tfrac{2}{3}x + 2 \quad\text{и осью }OY. \] При каких значениях \(b\) прямая \(y = -x + b\) имеет с этим треугольником хотя бы одну общую точку?
  4. Костя на «Жигулях» за 2 часа проезжает на 50 км больше, чем Ира на BMW за 1 час. Скорость BMW в 1,5 раза больше скорости «Жигулей». Определить скорость каждого.
  5. Упростите: \[ \frac{9^{2n+3}\,\cdot\,3^{2n-2}}{(-27)^{2n}}. \]
  6. Известно, что \(x^2 + 2x = a\). Найдите \[ \frac{1}{x^2} + \frac{1}{(x+2)^2} - \frac{1}{a^2} - \frac{2}{x(x+2)}. \]
  7. В равнобедённом треугольнике один из углов равен \(120^\circ\), а основание треугольника равно 10 см. Найти высоту, проведённую к боковой стороне.
  8. Можно ли треугольник, две стороны которого равны 566 и 566, поместить в треугольник, две стороны которого 239 и 566?
  9. Существуют ли такие натуральные \(a\) и \(b\), что \[ (a + b)\,(3a - b) = 10? \]
Материалы школы Юайти
youit.school ©

Решения задач



  1. Найти положительное число, если 27% от него равны 90% от его квадрата.
    Решение: Пусть число — $x$. Уравнение имеет вид:
    $0,27x = 0,9x^2$
    $0,9x^2 - 0,27x = 0$
    $0,09x(10x - 3) = 0$
    Так как $x > 0$, то $x = \frac{3}{10} = 0,3$.
    Ответ: 0,3.
  2. Верно ли, что при любом натуральном \(n\) значение выражения $\frac{(n^2 - 4)(n^4 + 4n^2 + 16)}{n^3 + 8}$ является целым числом?
    Решение: Упростим выражение:
    $\frac{(n^2 - 4)(n^4 + 4n^2 + 16)}{n^3 + 8} = \frac{n^6 - 64}{n^3 + 8} = n^3 - 8$.
    При натуральных $n$ выражение $n^3 - 8$ всегда целое.
    Ответ: Верно.
  3. Постройте треугольник, ограниченный прямыми $y = \frac{2}{3}x - 2$, $y = -\frac{2}{3}x + 2$ и осью $OY$. При каких значениях \(b\) прямая \(y = -x + b\) имеет с этим треугольником хотя бы одну общую точку?
    Решение: - Вершины треугольника: $(0; -2)$, $(0; 2)$, $(3; 2)$. - Границы для $b$ определяем подстановкой точек:
    Минимальное $b$: через $(0; -2)$ ⇒ $b = -2$.
    Максимальное $b$: через $(3; 2)$ ⇒ $b = 5$.
    Ответ: при $b \in [-2; 5]$.
  4. Костя на «Жигулях» за 2 часа проезжает на 50 км больше, чем Ира на BMW за 1 час. Скорость BMW в 1,5 раза больше скорости «Жигулей». Определить скорость каждого.
    Решение: Пусть скорость Жигулей — $x$ км/ч. Тогда скорость BMW — $1,5x$ км/ч:
    $2x = 1,5x \cdot 1 + 50 \quad \Rightarrow \quad 0,5x = 50 \quad \Rightarrow \quad x = 100$.
    Ответ: 100 км/ч и 150 км/ч.
  5. Упростите: $\frac{9^{2n+3} \cdot 3^{2n-2}}{(-27)^{2n}}$.
    Решение: Приведем к основанию 3:
    $\frac{3^{4n + 6} \cdot 3^{2n - 2}}{3^{6n}} = 3^{(4n + 6 + 2n - 2 - 6n)} = 3^{4} = 81$.
    Ответ: 81.
  6. Известно, что \(x^2 + 2x = a\). Найдите $\frac{1}{x^2} + \frac{1}{(x+2)^2} - \frac{1}{a^2} - \frac{2}{x(x+2)}$.
    Решение: Заметим, что $x(x + 2) = a$:
    $\frac{(x + 2)^2 + x^2}{a^2} - \frac{1}{a^2} - \frac{2}{a} = \frac{2a + 4}{a^2} - \frac{1}{a^2} - \frac{2}{a} = \frac{3}{a^2}$.
    Ответ: $\frac{3}{a^2}$.
  7. В равнобедрённом треугольнике один из углов равен \(120^\circ\), а основание треугольника равно 10 см. Найти высоту, проведённую к боковой стороне.
    Решение: Если основание 10 см соответствует углу $120^\circ$, боковые стороны равны $a$, тогда по теореме косинусов:
    $10^2 = 2a^2(1 + \cos 120^\circ) \Rightarrow a = \frac{10}{\sqrt{3}}$.
    Высота к боковой стороне: $h = \frac{10}{2} = 5$ см.
    Ответ: 5 см.
  8. Можно ли треугольник, две стороны которого равны 566 и 566, поместить в треугольник, две стороны которого 239 и 566?
    Решение: Стороны треугольника-внутреннего: 566, 566, $x \leq 1132$ (по неравенству треугольника).
    Стороны треугольника-внешнего: 239, 566, $y \geq 327$ (по неравенству треугольника). Максимальная сторона внешнего треугольника: $239 + 566 = 805 < 1132$. Ответ: Нельзя.
  9. Существуют ли такие натуральные \(a\) и \(b\), что $(a + b)(3a - b) = 10$?
    Решение: Разложим 10 на множители:
    $(a + b)$ и $(3a - b)$ — натуральные. Варианты:
    - $1 \cdot 10$: система $a + b = 1$, $3a - b = 10$ ⇒ $a = \frac{11}{4}$ — не натуральное.
    - $2 \cdot 5$ ⇒ аналогично не получается натуральных решений.
    Ответ: Не существуют.
Материалы школы Юайти