Лицей №239 из 7 в 8 класс 2003 год вариант 1

ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ЛИЦЕЙ №239

2003 год

Вариант 1

1. Найти положительное число, если 45% от него составляют столько же, сколько составляют 20% от числа ему обратного.
2. Верно ли, что при любом натуральном \(n\) значение выражения \[ \frac{(4n^2 - 1)\bigl(16n^4 + 4n^2 + 1\bigr)}{8n^3 - 1} \] является целым числом? (Ответ обоснуйте.)
3. Постройте треугольник, ограниченный прямыми \[ y = -\tfrac{2}{3}\,x + 2,\quad y = \tfrac{2}{3}\,x - 2 \quad\text{и осью }OY. \] При каких значениях \(b\) прямая \(y = -x + b\) имеет с этим треугольником хотя бы одну общую точку?
4. За 3 часа Люба на мотоцикле проезжает то же расстояние, что Вадик на велосипеде за 5 ч. Скорость мотоцикла на 12 км/ч больше скорости велосипедиста. Определить скорость каждого.
5. Упростите: \[ \frac{4^{2n+3}\,\cdot\,2^{2n-1}}{(-8)^{2n}}. \]
6. Известно, что \(x^2 + x = a\). Найдите \[ \frac{1}{x^2} + \frac{1}{(x+1)^2} - \frac{1}{a^2} - \frac{2}{x(x+1)}. \]
7. В равнобедённом треугольнике один из углов равен \(120^\circ\), а высота, проведённая к боковой стороне, равна 17 см. Найдите основание треугольника.
8. Можно ли два равнобедённых треугольника с равными боковыми сторонами расположить так, чтобы один лежал внутри другого?
9. Существуют ли такие натуральные \(a\) и \(b\), что \[ (a + b)(3a - b) = 6? \]

Решения задач

1. Найти положительное число, если 45% от него составляют столько же, сколько составляют 20% от числа ему обратного.
   Решение: Пусть искомое число равно $x$. Тогда по условию:
   $0,45x = 0,2 \cdot \frac{1}{x}$
   $0,45x^2 = 0,2$
   $x^2 = \frac{0,2}{0,45} = \frac{4}{9}$
   Так как $x > 0$, то $x = \frac{2}{3}$.
   Ответ: $\frac{2}{3}$.
2. Верно ли, что при любом натуральном \(n\) значение выражения \[ \frac{(4n^2 - 1)\bigl(16n^4 + 4n^2 + 1\bigr)}{8n^3 - 1} \] является целым числом? (Ответ обоснуйте.)
   Решение: Преобразуем выражение:
   $(4n^2 - 1)(16n^4 + 4n^2 + 1) = (2n - 1)(2n + 1)[(4n^2)^2 + 4n^2 + 1]$
   Знаменатель: $8n^3 - 1 = (2n - 1)(4n^2 + 2n + 1)$
   Раскладываем числитель:
   $(2n - 1)(2n + 1)\cdot (4n^2 - 2n + 1)(4n^2 + 2n + 1)$
   После сокращения $(2n - 1)(4n^2 + 2n + 1)$ останется:
   $(2n + 1)(4n^2 - 2n + 1)$, что целое при натуральных $n$.
   Ответ: Да, верно.
3. Постройте треугольник, ограниченный прямыми \[ y = -\tfrac{2}{3}\,x + 2,\quad y = \tfrac{2}{3}\,x - 2 \quad\text{и осью }OY. \] При каких значениях \(b\) прямая \(y = -x + b\) имеет с этим треугольником хотя бы одну общую точку?
   Решение: Треугольник образован точками $(0, 2)$, $(0, -2)$, $(3, 0)$. Прямая $y = -x + b$ пересекается с треугольником при:
   - $b$ должно находиться между минимальным и максимальным значениями на границах треугольника:
   Проверка пересечений с сторонами:
   - Вертикальная ось $OY$: $b \in [-2, 2]$.
   - Сторона между $(0, 2)$ и $(3, 0)$: $b \in [2, 3]$.
   - Сторона между $(0, -2)$ и $(3, 0)$: $b \in [-2, 3]$.
   Объединяя: $-2 \leq b \leq 3$.
   Ответ: $-2 \leq b \leq 3$.
4. За 3 часа Люба на мотоцикле проезжает то же расстояние, что Вадик на велосипеде за 5 ч. Скорость мотоцикла на 12 км/ч больше скорости велосипедиста. Определить скорость каждого.
   Решение: Пусть скорость Вадика — $v$ км/ч, тогда скорость Любы — $(v + 12)$ км/ч.
   Уравнение: $3(v + 12) = 5v$
   $3v + 36 = 5v$
   $2v = 36$ $\Rightarrow$ $v = 18$ км/ч.
   Скорость Любы: $18 + 12 = 30$ км/ч.
   Ответ: 18 км/ч и 30 км/ч.
5. Упростите: \[ \frac{4^{2n+3}\,\cdot\,2^{2n-1}}{(-8)^{2n}}. \]
   Решение: Преобразуем все степени к основанию 2:
   $\frac{(2^2)^{2n+3} \cdot 2^{2n-1}}{(-2^3)^{2n}} = \frac{2^{4n+6} \cdot 2^{2n-1}}{2^{6n}} = \frac{2^{6n+5}}{2^{6n}} = 2^5 = 32$.
   Ответ: 32.
6. Известно, что \(x^2 + x = a\). Найдите \[ \frac{1}{x^2} + \frac{1}{(x+1)^2} - \frac{1}{a^2} - \frac{2}{x(x+1)}. \]
   Решение: Подставим $x(x+1) = a$:
   $\frac{1}{x^2} + \frac{1}{(x+1)^2} - \frac{1}{a^2} - \frac{2}{a}$.
   Приводим к общему знаменателю $a^2$:
   $\left(\frac{x^2 + 2x + 1 + x^2}{a^2}\right)$ - $\left(\frac{1 + 2a}{a^2}\right)$ =$ \frac{2x^2 + 2x + 1 - 1 - 2a}{a^2}$.
   Так как $2x^2 + 2x = 2a$, получим $\frac{2a + 1 -1 -2a}{a^2} = 0$.
   Ответ: 0.
7. В равнобедрённом треугольнике один из углов равен \(120^\circ\), а высота, проведённая к боковой стороне, равна 17 см. Найдите основание треугольника.
   Решение: Пусть боковые стороны равны $a$. Площадь треугольника через высоту $h=17$ см:
   $S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot 17$.
   Через угол $120^\circ$ и боковые стороны:
   $S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot a \cdot \sin 120^\circ = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}$.
   Приравниваем:
   $\frac{17a}{2} = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}$ $\Rightarrow$ $a = \frac{34}{\sqrt{3}}$ см.
   Основание $b$ по теореме косинусов:
   $b = \sqrt{a^2 + a^2 - 2a^2 \cos 120^\circ} = a\sqrt{3} = \frac{34}{\sqrt{3}} \cdot \sqrt{3} = 34$ см.
   Ответ: 34 см.
8. Можно ли два равнобедрённых треугольника с равными боковыми сторонами расположить так, чтобы один лежал внутри другого?
   Решение: Да, можно. Например, построив треугольник с большим основанием и меньшей высотой, поместив внутрь треугольник с меньшим основанием и большей высотой при тех же боковых сторонах.
   Ответ: Да, можно.
9. Существуют ли такие натуральные \(a\) и \(b\), что \[ (a + b)(3a - b) = 6? \]
   Решение: Рассмотрим натуральные значения $a$, $b$:
   При $a \geq 1$ минимальное значение $(a + b)(3a - b)$ при $b=1$: $(a + 1)(3a -1) \geq 2 \cdot 2 =4$, которое быстро растёт. Проверка малых значений $a$ и $b$ показывает отсутствие решения.
   Ответ: Нет, не существуют.