Лицей №239 из 7 в 8 класс 2002 год вариант 2
Печать
youit.school ©
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ЛИЦЕЙ №239
2002 год
Вариант 2
- Вычислите: \[ \frac{2^{50} - 2\cdot 4^{22}}{31\cdot 8^{15}}. \]
- Упростите выражение: \[ \left. \frac{(a+3)^2}{a} \middle/ \left( \frac{a^3 - 27}{a^2 - 3a} - a \right) \right. - \frac{a}{3} \]
- Дана линейная функция \(y = a x + 2\).
- Постройте график этой функции, если известно, что он проходит через точку \(B(79;239)\).
- При каком значении \(a\) данная прямая образует вместе с осями координат прямоугольный треугольник, у которого один катет в \(1{,}5\) раза больше другого?
- Существуют ли такие значения \(x\), при подстановке которых значение выражения \[ (4 - x)^2 + 25 - 10(4 - x) \] будет отрицательно?
- Вычислите \[ x y(1 - y) + x + y(1 - x^2), \] если \(x + y = 0{,}3\) и \(xy = -\tfrac{1}{5}\).
- На новогоднем вечере в ФМЛ №239 \(80\%\) учащихся лицея, пришедших на вечер, были на представлении, а на дискотеке — \(90\%\). При этом каждый, пришедший на вечер, был на представлении или на дискотеке. Сколько процентов лицеистов, пришедших на новогодний вечер, были и на представлении, и на дискотеке?
- Треугольник \(ABC\) — равнобедренный (\(AB = BC\)), \(\angle C = 72^\circ\). \(AP\) — биссектриса треугольника, \(PK \parallel AB\) (точка \(K\) лежит на стороне \(AC\)). Найдите угол \(\angle KPA\).
- В равнобедренном треугольнике биссектриса одного из углов равна одной из сторон треугольника. Верно ли, что этот треугольник — прямоугольный? (Не забудьте доказать полученный Вами ответ.)
Материалы школы Юайти
youit.school ©
Решения задач
- Вычислите:
\[
\frac{2^{50} - 2\cdot 4^{22}}{31\cdot 8^{15}}.
\]
Решение:
Представим все степени с основанием 2:
\[
4^{22} = (2^2)^{22} = 2^{44}; \quad 8^{15} = (2^3)^{15} = 2^{45}
\]
Преобразуем числитель:
\[
2^{50} - 2 \cdot 2^{44} = 2^{44}(2^6 - 2) = 2^{44} \cdot 62
\]
Знаменатель:
\[
31 \cdot 2^{45} = 31 \cdot 2^{44} \cdot 2
\]
Подставляем в исходное выражение:
\[
\frac{2^{44} \cdot 62}{31 \cdot 2^{44} \cdot 2} = \frac{62}{31 \cdot 2} = \frac{62}{62} = 1
\]
Ответ: 1.
- Упростите выражение:
\[
\left.
\frac{(a+3)^2}{a}
\middle/
\left(
\frac{a^3 - 27}{a^2 - 3a} - a
\right)
\right.
- \frac{a}{3}
\]
Решение:
Упростим выражение в скобках:
\[
\frac{a^3 - 27}{a^2 - 3a} = \frac{(a - 3)(a^2 + 3a + 9)}{a(a - 3)} = \frac{a^2 + 3a + 9}{a}
\]
Вычитаем \(a\):
\[
\frac{a^2 + 3a + 9}{a} - a = \frac{a^2 + 3a + 9 - a^2}{a} = \frac{3a + 9}{a} = \frac{3(a + 3)}{a}
\]
Делим:
\[
\frac{(a + 3)^2}{a} : \frac{3(a + 3)}{a} = \frac{a + 3}{3}
\]
Вычитаем \(\frac{a}{3}\):
\[
\frac{a + 3}{3} - \frac{a}{3} = \frac{3}{3} = 1
\]
Ответ: 1.
- Дана линейная функция \(y = a x + 2\).
- Постройте график этой функции, если известно, что он проходит через точку \(B(79;239)\). Решение: Подставляем координаты точки \(B\): \[ 239 = a \cdot 79 + 2 \implies 79a = 237 \implies a = 3 \] Уравнение прямой: \(y = 3x + 2\). Ответ: график \(y = 3x + 2\).
- При каком значении \(a\) данная прямая образует вместе с осями координат прямоугольный треугольник, у которого один катет в \(1{,}5\) раза больше другого? Решение: Точки пересечения с осями: \[ y = 0 \implies x = -\frac{2}{a}; \quad x = 0 \implies y = 2 \] Катеты: \(\left|\frac{2}{a}\right|\) и \(2\). Рассматриваем соотношения: \[ \frac{2}{|a|} : 2 = 1{,}5 \implies |a| = \frac{2}{3}; \quad \text{или} \quad 2 : \frac{2}{|a|} = 1{,}5 \implies |a| = \frac{3}{1{,}5} = 2 \] Ответ: \(a = \pm \frac{2}{3}\) или \(a = \pm 2\).
- Существуют ли такие значения \(x\), при подстановке которых значение выражения
\[
(4 - x)^2 + 25 - 10(4 - x)
\]
будет отрицательно?
Решение:
Упростим выражение:
\[
(4 - x)^2 - 10(4 - x) + 25 = ((4 - x) - 5)^2 = (-x - 1)^2 \geq 0
\]
Ответ: нет, таких \(x\) не существует.
- Вычислите
\[
x y(1 - y) + x + y(1 - x^2),
\]
если \(x + y = 0{,}3\) и \(xy = -\tfrac{1}{5}\).
Решение:
Раскроем и упростим выражение:
\[
xy - xy^2 + x + y - x^2y = (x + y) + xy(1 - y - x)
\]
Подставляем значения:
\[
0{,}3 + (-0{,}2)(1 - 0{,}3) = 0{,}3 - 0{,}2 \cdot 0{,}7 = 0{,}3 - 0{,}14 = 0{,}16
\]
Ответ: 0,16.
- На новогоднем вечере в ФМЛ №239 \(80\%\) учащихся лицея, пришедших на вечер, были на представлении, а на дискотеке — \(90\%\). При этом каждый, пришедший на вечер, был на представлении или на дискотеке. Сколько процентов лицеистов, пришедших на новогодний вечер, были и на представлении, и на дискотеке?
Решение:
По формуле включения-исключения:
\[
80% + 90\ 100% = 70\%
\]
Ответ: $70\%$.
- Треугольник \(ABC\) — равнобедренный (\(AB = BC\)), \(\angle C = 72^\circ\). \(AP\) — биссектриса треугольника, \(PK \parallel AB\) (точка \(K\) лежит на стороне \(AC\)). Найдите угол \(\angle KPA\).
Решение:
\(\triangle ABC\) равнобедренный (\(AB = BC\)), \(\angle C = 72^\circ\), значит \(\angle B = 72^\circ\), \(\angle A = 36^\circ\). \(AP\) — биссектриса \(\angle A \implies \angle PAB = 18^\circ\). Так как \(PK \parallel AB\), углы \(\angle KPA = \angle PAB = 18^\circ\) (накрест лежащие).
Ответ: \(18^\circ\).
- В равнобедренном треугольнике биссектриса одного из углов равна одной из сторон треугольника. Верно ли, что этот треугольник — прямоугольный? Решение: Рассмотрим равнобедренный треугольник с углом \(120^\circ\). Биссектриса угла делит его на два угла по \(60^\circ\). Длина биссектрисы может совпадать со стороной, но треугольник не будет прямоугольным. Таким образом, утверждение неверно. Ответ: Нет, неверно.
Материалы школы Юайти