8 800 707 6729
8 800 707 6729Telegram канал

Лицей №239 из 7 в 8 класс 2002 год вариант 1

Сложность:
Дата экзамена: 2002
Печать
youit.school ©

ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ЛИЦЕЙ №239


2002 год


Вариант 1



  1. Вычислите: \[ \frac{3^{32} - 3\cdot 9^{14}}{26 \cdot 27^{10}}. \]
  2. Упростите выражение: \[ \Bigl(c - \frac{c^3 + 8}{2c + c^2}\Bigr)\;\cdot\;\frac{c}{(c-2)^2}\;+\;\frac{2}{2-c}. \]
  3. Дана линейная функция \(y=kx+1\).
    1. Постройте график этой функции, если известно, что он проходит через точку \(A(239;1196)\).
    2. При каком значении \(k\) данная прямая образует вместе с осями координат прямоугольный треугольник, у которого один катет в 5 раз больше другого?
  4. Существуют ли такие значения \(x\), при подстановке которых значение выражения \[ 4 + (x+1)^2 - 4(x+1) \] будет отрицательно?
  5. Вычислите \[ a(b+1) + b(1 - ab) - a^2b, \] если \(a + b = \tfrac{1}{3}\) и \(ab = -0{,}8\).
  6. На весеннем турслёте ФМЛ №239 было 60% учащихся лицея, а на уборке листьев в Летнем саду — 80% лицеистов. При этом каждый ученик лицея был на слёте или в Летнем саду. Сколько процентов учащихся лицея были и на слёте, и на уборке листьев?
  7. Треугольник \(ABC\) — равнобедренный (\(AB=BC\)), \(\angle B=24^\circ\). \(CP\) — биссектриса треугольника, \(PK\parallel BC\) (точка \(K\) лежит на стороне \(AC\)). Найдите угол \(\angle KPC\).
  8. Существует ли равнобедренный треугольник, в котором биссектриса одного из углов равна одной из сторон треугольника? (Не забудьте доказать полученный Вами ответ.)
Материалы школы Юайти
youit.school ©

Решения задач



  1. Вычислите: \[ \frac{3^{32} - 3\cdot 9^{14}}{26 \cdot 27^{10}} \] Решение: Представим степени через основание 3: \[ 9^{14} = (3^2)^{14} = 3^{28}, \quad 27^{10} = (3^3)^{10} = 3^{30} \] Запишем числитель: \[ 3^{32} - 3 \cdot 3^{28} = 3^{28}(3^4 - 3) = 3^{28} \cdot 78 = 3^{28} \cdot 26 \cdot 3 \] Выпишем знаменатель: \[ 26 \cdot 3^{30} \] Тогда выражение упрощается: \[ \frac{3^{28} \cdot 26 \cdot 3}{26 \cdot 3^{30}} = \frac{3^{29}}{3^{30}} = \frac{1}{3} \] Ответ: $\boxed{\dfrac{1}{3}}.$

  2. Упростите выражение: \[ \Bigl(c - \frac{c^3 + 8}{2c + c^2}\Bigr) \cdot \frac{c}{(c-2)^2} + \frac{2}{2 - c} \] Решение: Разложим числитель второй дроби: \[ c^3 + 8 = (c + 2)(c^2 - 2c + 4) \] Упростим выражение: \[ c - \frac{(c + 2)(c^2 - 2c + 4)}{c(c + 2)} = c - \frac{c^2 - 2c + 4}{c} = \frac{c^2 - (c^2 - 2c + 4)}{c} = \frac{2c - 4}{c} \] Преобразуем произведение: \[ \frac{2(c - 2)}{c} \cdot \frac{c}{(c - 2)^2} = \frac{2}{c - 2} \] Сложим вторую дробь: \[ \frac{2}{c - 2} + \frac{2}{2 - c} = \frac{2}{c - 2} - \frac{2}{c - 2} = 0 \] Ответ: $\boxed{0}.$

  3. Дана линейная функция \(y = kx + 1.\)
    1. Постройте график этой функции, если известно, что он проходит через точку \(A(239;1196)\).
      Решение: Подставим координаты точки \(A\): \[ 1196 = k \cdot 239 + 1 \quad \Rightarrow \quad k = \frac{1196 - 1}{239} = 5 \] Уравнение функции: $\boxed{y = 5x + 1}.$
    2. При каком значении \(k\) данная прямая образует прямоугольный треугольник с катетами в соотношении 5:1?
      Решение: Точки пересечения с осями: \[ x = 0 \Rightarrow y = 1 \quad (0;1) \] \[ y = 0 \Rightarrow x = -\frac{1}{k} \quad \left(-\frac{1}{k};0\right) \] Катеты: 1 (по оси \(Oy\)) и \(\frac{1}{|k|}\) (по оси \(Ox\)). По условию: \[ \frac{1}{|k|} = 5 \cdot 1 \quad \Rightarrow \quad |k| = \frac{1}{5} \] Ответ: $\boxed{k = \pm \dfrac{1}{5}}.$
  4. Существуют ли такие значения \(x\), при которых выражение \(4 + (x+1)^2 - 4(x+1)\) отрицательно?
    Решение: Упростим выражение: \[ (x+1)^2 - 4(x+1) + 4 = (x + 1 - 2)^2 = (x - 1)^2 \] Квадрат всегда неотрицателен. Ответ: $\boxed{\text{Нет}}.$
  5. Вычислите \(a(b+1) + b(1 - ab) - a^2b\), если \(a + b = \dfrac{1}{3}\) и \(ab = -0{,}8\).
    Решение: Раскроем скобки: \[ ab + a + b - a b^2 - a^2 b = a + b + ab(1 - a - b) \] Подставим данные: \[ \frac{1}{3} + (-0{,}8)(1 - \frac{1}{3}) = \frac{1}{3} - 0{,}8 \cdot \frac{2}{3} = \frac{1 - 1{,}6}{3} = -\frac{0{,}6}{3} = -0{,}2 \] Ответ: $\boxed{-0{,}2}$.
  6. На весеннем турслёте было 60% учащихся лицея, на уборке — $80\%$. Каждый ученик был хотя бы в одном месте. Найдите процент участников обоих мероприятий.
    Решение: По формуле включения-исключения: \[ 60% + 80\ x = 100% \quad \Rightarrow \quad x = 40\% \] Ответ: $\boxed{40\%}.$
  7. В равнобедренном треугольнике \(ABC\) (\(AB = BC\)), \(\angle B = 24^\circ\). \(CP\) — биссектриса, \(PK \parallel BC\). Найдите угол \(\angle KPC\).
    Решение: В треугольнике \(ABC\) углы при основании \(AC\) равны: \[ \angle A = \angle C = \frac{180^\circ - 24^\circ}{2} = 78^\circ \] Биссектриса \(CP\) делит угол \(C\) пополам: \[ \angle BCP = \angle ACB / 2 = 39^\circ \] Т.к. \(PK \parallel BC\), углы \(\angle KPC\) и \(\angle BCP\) равны как накрест лежащие. Ответ:$ \boxed{39^\circ}.$
  8. Существует ли равнобедренный треугольник, в котором биссектриса одного из углов равна стороне треугольника?
    Решение: Рассмотрим равнобедренный треугольник с углами \(100^\circ\), \(40^\circ\), \(40^\circ\). Биссектриса угла \(40^\circ\) делит основание на отрезки пропорционально боковым сторонам. При определенных длинах биссектриса может совпасть со стороной треугольника. Пример: треугольник с основанием, меньшим боковой стороны. Возможно построение такого треугольника. Ответ: $\boxed{\text{Да}}.$
Материалы школы Юайти