8 800 707 6729
8 800 707 6729Telegram канал

Лицей №239 из 7 в 8 класс 2001 год вариант 2

Сложность:
Дата экзамена: 2001
Печать
youit.school ©

ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ЛИЦЕЙ №239


2001 год


Вариант 2



  1. Какая из дробей больше? \[ \frac{102^2 - 98^2}{202^2 - 198^2} \quad\text{или}\quad \frac{202^2 - 198^2}{302^2 - 298^2}? \]

  2. Упростить выражение: \[ \biggl(\frac{3x+2}{x^2-4x+4}\;\colon\;\frac{9x^2-4}{4 - x^2} \;+\;\frac{1}{3x-2}\biggr)\;\colon\;\frac{1}{6x-4}. \]

  3. При каком \(k\) прямая \(y = kx + 5\) отсекает от осей координат в I четверти равнобедренный треугольник?

  4. Произведение двух последовательных нечётных чисел на 144 меньше произведения двух следующих за ними нечётных чисел. Найдите эти два числа.

  5. В прямоугольном треугольнике \(\triangle ABC\) на гипотенузе \(AB\) выбрана точка \(D\) так, что \(\triangle BCD\) равнобедренный с углом \(120^\circ\) при вершине \(C\). Докажите, что \(\triangle ACD\) равносторонний.

  6. Участник авторалли рассчитывал проехать расстояние 360 км с постоянной скоростью \(v\). Из-за тумана первую половину дистанции он ехал со скоростью на 20% меньше намеченной. На второй половине пути, чтобы наверстать упущенное время, он увеличил скорость на 20% по сравнению с намеченной. В результате он затратил на весь путь на 15 мин больше, чем предполагал. С какой скоростью он планировал ехать?

  7. При каком наименьшем \(n\) число \(75^n\) делится нацело на \(45^{10}\)?
Материалы школы Юайти
youit.school ©

Решения задач



  1. Какая из дробей больше? \[ \frac{102^2 - 98^2}{202^2 - 198^2} \quad\text{или}\quad \frac{202^2 - 198^2}{302^2 - 298^2}? \]
    Решение: Воспользуемся формулой разности квадратов \(a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)\). Вычислим каждую дробь: \[ \frac{102^2 - 98^2}{202^2 - 198^2} = \frac{(102 - 98)(102 + 98)}{(202 - 198)(202 + 198)} = \frac{4 \cdot 200}{4 \cdot 400} = \frac{800}{1600} = 0,5. \] \[ \frac{202^2 - 198^2}{302^2 - 298^2} = \frac{(202 - 198)(202 + 198)}{(302 - 298)(302 + 298)} = \frac{4 \cdot 400}{4 \cdot 600} = \frac{1600}{2400} = \frac{2}{3} \approx 0,6667. \] Так как \(0,6667 > 0,5\), вторая дробь больше.
    Ответ: Вторая дробь больше.

  2. Упростить выражение: \[ \biggl(\frac{3x+2}{x^2-4x+4}\;\colon\;\frac{9x^2-4}{4 - x^2} \;+\;\frac{1}{3x-2}\biggr)\;\colon\;\frac{1}{6x-4}. \]
    Решение: Разложим знаменатели на множители: \[ x^2-4x+4 = (x-2)^2,\quad 9x^2-4 = (3x-2)(3x+2),\quad 4 - x^2 = -(x^2 - 4) = -(x-2)(x+2). \] Перепишем выражение: \[ \left(\frac{3x+2}{(x-2)^2} \cdot \frac{-(x-2)(x+2)}{(3x-2)(3x+2)} + \frac{1}{3x-2}\right) \cdot (6x-4). \] Сократим общие множители в первой дроби: \[ \frac{3x+2}{(x-2)^2} \cdot \frac{-(x-2)(x+2)}{(3x-2)(3x+2)} = \frac{-(x+2)}{(x-2)(3x-2)}. \] Сложим с \(\frac{1}{3x-2}\): \[ \frac{-(x+2)}{(x-2)(3x-2)} + \frac{1}{3x-2} = \frac{-(x+2) + (x-2)}{(x-2)(3x-2)} = \frac{-4}{(x-2)(3x-2)}. \] Умножим на \(\frac{6x-4}{1} = 2(3x-2)\): \[ \frac{-4}{(x-2)(3x-2)} \cdot 2(3x-2) = \frac{-8}{x-2}. \] Ответ: \(\frac{-8}{x-2}\).

  3. При каком \(k\) прямая \(y = kx + 5\) отсекает от осей координат в I четверти равнобедренный треугольник?
    Решение: Найдём точки пересечения с осями. При \(y=0\): \[ 0 = kx + 5 \implies x = -\frac{5}{k} \quad (k \neq 0). \] При \(x=0\): \[ y = 5. \] Так как треугольник находится в I четверти, то \(-\frac{5}{k} > 0\), значит \(k < 0\). Катеты равны: \[ \left|-\frac{5}{k}\right| = |5| \implies \frac{5}{|k|} = 5 \implies |k| = 1 \implies k = -1 \quad (\text{т.к. } k < 0). \] Ответ: \(k = -1\).

  4. Произведение двух последовательных нечётных чисел на 144 меньше произведения двух следующих за ними нечётных чисел. Найдите эти два числа.
    Решение: Пусть первое нечётное число \(n\), тогда следующие три числа: \(n+2\), \(n+4\), \(n+6\). По условию: \[ (n+4)(n+6) - n(n+2) = 144. \] Раскроем скобки: \[ n^2 + 10n + 24 - n^2 - 2n = 144 \implies 8n + 24 = 144 \implies 8n = 120 \implies n = 15. \] Ответ: 15 и 17.

  5. В прямоугольном треугольнике \(\triangle ABC\) на гипотенузе \(AB\) выбрана точка \(D\) так, что \(\triangle BCD\) равнобедренный с углом \(120^\circ\) при вершине \(C\). Докажите, что \(\triangle ACD\) равносторонний.
    Решение: Пусть \(\angle ACB = 90^\circ\), \(D\) на \(AB\). Так как \(\triangle BCD\) равнобедренный с \(\angle BCD = 120^\circ\), то \(BC = CD\). Рассмотрим поворот точки \(B\) вокруг точки \(C\) на \(120^\circ\), который переведет \(B\) в \(D\). При этом точка \(A\) перейдёт в такую точку на окружности с центром в \(C\) и радиусом \(AC\), что \(AC = CD = AD\), значит \(\triangle ACD\) равносторонний.

  6. Участник авторалли рассчитывал проехать расстояние 360 км с постоянной скоростью \(v\). Из-за тумана первую половину дистанции он ехал со скоростью на 20% меньше намеченной. На второй половине пути он увеличил скорость на 20% по сравнению с намеченной. В результате он затратил на весь путь на 15 мин больше, чем предполагал. С какой скоростью он планировал ехать?
    Решение: Запланированное время пути: \[ t = \frac{360}{v} \text{ часов}. \] Реальное время пути: \[ t_{\text{реал}} = \frac{180}{0,8v} + \frac{180}{1,2v} = \frac{225}{v} + \frac{150}{v} = \frac{375}{v} \text{ часов}. \] Разница во времени: \[ \frac{375}{v} - \frac{360}{v} = \frac{15}{v} \text{ часов} = 0,25 \text{ часа} \implies v = \frac{15}{0,25} = 60 \text{ км/ч}. \] Ответ: 60 км/ч.

  7. При каком наименьшем \(n\) число \(75^n\) делится нацело на \(45^{10}\)?
    Решение: Разложим на простые множители: \[ 75 = 5^2 \cdot 3, \quad 45 = 3^2 \cdot 5. \] Тогда: \[ 75^n = 3^n \cdot 5^{2n}, \quad 45^{10} = 3^{20} \cdot 5^{10}. \] Для делимости необходимо: \[ n \geq 20 \quad \text{и} \quad 2n \geq 10 \implies n \geq 10. \] Наименьшее \(n = 20\).
    Ответ: 20.
Материалы школы Юайти