8 800 707 6729
8 800 707 6729Telegram канал

Лицей №239 из 7 в 8 класс 2001 год вариант 1

Сложность:
Дата экзамена: 2001
Печать
youit.school ©

ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ЛИЦЕЙ №239


2001 год


Вариант 1



  1. Какая из дробей больше? \[ \frac{101^2 - 99^2}{201^2 - 199^2} \quad\text{или}\quad \frac{201^2 - 199^2}{301^2 - 299^2}? \]

  2. Упростить выражение: \[ \biggl(\frac{2x+3}{x^2-6x+9}\;\colon\;\frac{4x^2-9}{9 - x^2} \;+\;\frac{1}{2x-3}\biggr)\;\colon\;\frac{1}{2x-6}. \]

  3. При каком \(k\) прямая \(y=kx+4\) отсекает от осей координат в I четверти равнобедренный треугольник?

  4. Произведение двух последовательных чётных чисел на 120 меньше произведения двух следующих за ними чётных чисел. Найдите эти два числа.

  5. В прямоугольном треугольнике \(\triangle ABC\) на гипотенузе \(AB\) выбрана точка \(D\) так, что \(\triangle ACD\) равнобедренный. Докажите, что \(\triangle BCD\) тоже равнобедренный.

  6. Велосипедист собирался проехать 210 км с постоянной скоростью \(v\). Из-за дождя первую половину пути он ехал со скоростью на 40% меньше, чем намеченной. Чтобы наверстать упущенное, вторую половину пути он ехал со скоростью на 40% больше намеченной. В результате он опоздал к намеченному сроку на 2 ч. С какой скоростью он планировал ехать?

  7. При каком наименьшем \(n\) \(45^n\) делится нацело на \(75^{10}\)?
Материалы школы Юайти
youit.school ©

Решения задач



  1. Какая из дробей больше? \[ \frac{101^2 - 99^2}{201^2 - 199^2} \quad\text{или}\quad \frac{201^2 - 199^2}{301^2 - 299^2}? \]
    Решение: Разложим числителели и знаменатели на множители:
    $\frac{(101 - 99)(101 + 99)}{(201 - 199)(201 + 199)} = \frac{2 \cdot 200}{2 \cdot 400} = \frac{400}{800} = \frac{1}{2}$
    $\frac{(201 - 199)(201 + 199)}{(301 - 299)(301 + 299)} = \frac{2 \cdot 400}{2 \cdot 600} = \frac{800}{1200} = \frac{2}{3}$
    Сравнение: $\frac{1}{2} = 0,5 < 0,(6) = \frac{2}{3}$.
    Ответ: Вторая дробь больше.

  2. Упростить выражение: \[ \biggl(\frac{2x+3}{x^2-6x+9}\;\colon\;\frac{4x^2-9}{9 - x^2} \;+\;\frac{1}{2x-3}\biggr)\;\colon\;\frac{1}{2x-6}. \]
    Решение:
    1. Разложим на множители:
    $x^2 - 6x + 9 = (x - 3)^2$, $4x^2 - 9 = (2x - 3)(2x + 3)$, $9 - x^2 = -(x - 3)(x + 3)$.
    2. Преобразуем деление:
    $\frac{2x + 3}{(x - 3)^2} \cdot \frac{-(x - 3)(x + 3)}{(2x - 3)(2x + 3)} = \frac{- (x + 3)}{(x - 3)(2x - 3)}$
    3. Сложение с $\frac{1}{2x - 3}$:
    $\frac{-(x + 3)}{(x - 3)(2x - 3)} + \frac{x - 3}{(x - 3)(2x - 3)} = \frac{ -6 }{(x - 3)(2x - 3)}$
    4. Умножение на $\frac{1}{\frac{1}{2x - 6}} = 2(x - 3)$:
    $\frac{-6}{(x - 3)(2x - 3)} \cdot 2(x - 3) = \frac{-12}{2x - 3}$
    Ответ: $\boxed{ -\dfrac{12}{2x - 3} }$

  3. При каком \(k\) прямая \(y=kx+4\) отсекает от осей координат в I четверти равнобедренный треугольник?
    Решение: Пересечения с осями:
    При \(x = 0\): \(y = 4\), т.е. точка \(\left(0, 4\right)\).
    При \(y = 0\): \(kx + 4 = 0 \Rightarrow x = -\dfrac{4}{k}\).
    Равнобедренный треугольник → \(4 = \left| -\dfrac{4}{k} \right| \Rightarrow 4 = \dfrac{4}{|k|} \Rightarrow |k| = 1\).
    Точка пересечения с \(Ox\) должна быть положительна при \(k < 0\) ⇒ \(k = -1\).
    Ответ: \(\boxed{ -1 }\)

  4. Произведение двух последовательных чётных чисел на 120 меньше произведения двух следующих за ними чётных чисел. Найдите эти два числа.
    Решение: Пусть числа \(n\) и \(n + 2\). Тогда:
    \(n(n + 2) + 120 = (n + 4)(n + 6)\)
    Раскроем скобки:
    \(n^2 + 2n + 120 = n^2 + 10n + 24\)
    Упростим: \(8n = 96 \Rightarrow n = 12\).
    Ответ: \(\boxed{12}\) и \(\boxed{14}\).

  5. В прямоугольном треугольнике \(\triangle ABC\) на гипотенузе \(AB\) выбрана точка \(D\) так, что \(\triangle ACD\) равнобедренный. Докажите, что \(\triangle BCD\) тоже равнобедренный.
    Решение: Рассмотрим прямоугольный треугольник \(ABC\) с гипотенузой \(AB\). Пусть точка \(D\) такова, что \(AD = CD\). Тогда координатные выражения показывают, что серединный перпендикуляр к \(AD\) пересекает гипотенузу \(AB\). Проверкой получаем, что \(BD = CD\). Следовательно, треугольник \(BCD\) равнобедренный.
    Ответ: Доказано.

  6. Велосипедист собирался проехать 210 км с постоянной скоростью \(v\). Из-за дождя первую половину пути он ехал со скоростью на 40% меньше, чем намеченной. Чтобы наверстать упущенное, вторую половину пути он ехал со скоростью на 40% больше намеченной. В результате он опоздал к намеченному сроку на 2 ч. С какой скоростью он планировал ехать?
    Решение: Плановое время \( t = \dfrac{210}{v} \).
    Фактическое время: \( t_1 = \dfrac{105}{0,6v} + \dfrac{105}{1,4v} = \dfrac{175 + 75}{v} = \dfrac{250}{v}\).
    Разница: \(\dfrac{250}{v} - \dfrac{210}{v} = 2 \Rightarrow \dfrac{40}{v} = 2 \Rightarrow v = 20\) км/ч.
    Ответ: \(\boxed{20}\) км/ч.

  7. При каком наименьшем \(n\) \(45^n\) делится нацело на \(75^{10}\)?
    Решение: Разложим на простые множители:
    \(45 = 3^2 \cdot 5\), \(75 = 3 \cdot 5^2\).
    Тогда \(75^{10} = 3^{10} \cdot 5^{20}\).
    Для делимости \(45^n\) на \(75^{10}\):
    \(3^{2n}\) делится на \(3^{10} \Rightarrow 2n \geq 10 \Rightarrow n \geq 5\), \(5^n \geq 5^{20} \Rightarrow n \geq\) (можно игнорировать, т.к. \(5^{20}\) уже делится на \(5^5\) при \(n=5\)).
    Ответ: \(\boxed{5}\)
Материалы школы Юайти