Лицей №239 из 4 в 5 класс 2024 год вариант 1

ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ЛИЦЕЙ №239

2024 год

Вариант 1

1. Вычислите: \[ 57\,296\,571 \div 57. \]
2. В нашем Лицее классы нумеруются цифрами, а не буквами, как обычно в школе. Например, это вступительная работа в классы 5-1 и 5-2. В 8-1 классе училось 29 человек, в 8-2 — 32 человека, в 8-3 — 30. После контрольной по физике 3 человека перешли из 8-1 в 8-2, 2 человека из 8-2 в 8-3, а 2 человека из 8-3 в 8-1. После контрольной по алгебре из 8-1 в 8-3 ушло 4 человека, из 8-3 в 8-2 — 3, из 8-2 в 8-1 — 7. После контрольной по литературе из 8-3 ушло в другую школу 3 человека. Сколько человек учится теперь вместе во всех трёх классах?
3. Сколько существует нечётных чисел, больших 239 и меньших 777?
4. Трёхзначное число называется $\emph{красивым}$, если его первая цифра чётная, последняя нечётная, а сумма всех трёх цифр равна 7. Сколько красивых чисел?
5. Дан прямоугольник со сторонами целых сантиметров. Оказалось, что можно отрезать от него прямоугольник периметра 420 см, и получится квадрат. Также оказалось, что можно приклеить к нему прямоугольник периметра 660 см, и получится квадрат. Придумайте такой прямоугольник; в ответ запишите обе его стороны.
6. В верном примере на сложение переставили две цифры и получилось \[ 239 + 621 = 980. \] Запишите в ответ исходные два числа из левой части (достаточно одного правильного варианта).
7. В мае некоторого года суббот было больше, чем четвергов. Каким днём недели мог быть 30 января того года?
8. Дано число 2525252. Вычёркивая из него цифры, можно получить некоторые различные четырёхзначные числа. Найдите сумму всех этих чисел.
9. По кругу, по часовой стрелке, ставили числа \(1,2,3,\dots\). В какой-то момент места кончились, и стали стирать старые числа и писать новые. Так, вместо числа 18 в некоторый момент написали 239, а вместо 20 написали 241. Чему будет равна сумма всех чисел сразу после того, как выпишут число 1110? (Число всегда занимает одно место, даже если в нём много цифр.)
10. Вычислите: \[ 339 \times 340 \;+\; 340 \times 341 \;+\; 341 \times 320. \]
11. В таблице \(5\times5\), клетки которой пронумерованы как на рисунке: \[ \begin{array}{ccccc} 1 & 2 & 3 & 4 & 5\\ 10 & 9 & 8 & 7 & 6\\ 11 & 12 & 13 & 14 & 15\\ 20 & 19 & 18 & 17 & 16\\ 21 & 22 & 23 & 24 & 25 \end{array} \] необходимо отметить несколько клеток так, чтобы в каждой строке и каждом столбце была отмечена ровно одна клетка. Кирилл отметил клетки с номерами 1, 13, 19 и ещё две. Чему может быть равна сумма номеров этих двух клеток?
12. По круглому стадиону на самокате ездит тренер со скоростью 12 км/ч. Навстречу ему передвигается Максим с постоянной скоростью. Тренер заметил, что они постоянно встречаются в 4 разных точках этого круга. Чему может быть равна скорость Максима?
13. Параллелепипед \(4\times4\times5\) облили краской и распилили на кубики со стороной 1. У скольких из полученных кубиков число окрашенных граней чётно?
14. Сегодня 19 мая 2024 года. Какой будет месяц через 300 дней?
15. Когда в Брянске 10:17, в Хабаровске 17:17. Когда в Хабаровске 15:12, в Кургане 10:12. Путешественник выехал из Кургана в 12:01 и приехал на следующий день в Брянск в 03:46 местного времени. Сколько времени он путешествовал?
16. В прямоугольнике $1\times2$ ровно одна перегородка, а в прямоугольнике $2\times3$ ровно семь. В прямоугольнике $105\times205$ в центре вырезали дырку размера $15\times15$. Сколько перегородок в получившейся фигуре?
17. В мешке лежат карандаши: белые, красные и синие (каждый цвет есть). Если вынуть 15 карандашей, то среди них обязательно будет красный; если 14 — то обязательно будет синий. А ещё удалось вынуть 25 карандашей, среди которых нет белого! Сколько может быть карандашей в мешке?
18. Шесть специалистов по новой игре смогли сыграть каждый с каждым по одному разу за 6 часов (все игры продолжаются одинаковое время). При этом у них было два поля для игры. А сколько им потребовалось бы времени, если бы поле было одно?
19. Язык Ралины состоит из пяти букв А, Р, И, Л, Н. При этом мы не знаем, каков у них настоящий алфавитный порядок. Оказалось, что если выписать в алфавитном порядке все 120 слов из пяти различных букв, то вторым словом в этом списке будет ИНЛРА. Какое слово идёт сразу за АИРЛН?
20. Найдите неизвестное значение \(x\) из равенства \[ 1273 + (50632 - 239 \times x)\;\colon\;13 = 2024. \]

Решения задач

1. Вычислите: \( 57\,296\,571 \div 57 \).
   Решение: \( 57\,296\,571 \div 57 = 1\,005\,203 \).
   Ответ: \( 1\,005\,203 \).
2. В нашем Лицее классы нумеруются цифрами, а не буквами. После всех перемещений:
   Исходные данные: 8-1 (29), 8-2 (32), 8-3 (30).
   После физики: 8-1 (26), 8-2 (35), 8-3 (30).
   После алгебры: 8-1 (31), 8-2 (29), 8-3 (28).
   После литературы: итоговое количество: \( 31 + 29 + 28 = 88 \).
   Ответ: 88 человек.
3. Сколько существует нечётных чисел, больших 239 и меньших 777?
   Решение: Первое число — 241, последнее — 775. Формула: \( \frac{775 - 241}{2} + 1 = 268 \).
   Ответ: 268.
4. Красивые трёхзначные числа. Условия: первая цифра чётная, последняя нечётная, сумма цифр 7.
   Решение: Возможные числа: 205, 223, 241, 403, 421, 601.
   Ответ: 6.
5. Прямоугольник, изменяющийся при отрезании и приклеивании. Пример решения: стороны 105 см и 130 см.
   Ответ: 105 см и 130 см.
6. Исходные числа в примере на сложение после перестановки цифр.
   Ответ: 639 и 241 (или другие подходящие комбинации, например, 239 и 741).
   
7. День недели 30 января. Решение: 30 января — четверг, так как май начинался с пятницы.
   Ответ: четверг.
8. Сумма четырёхзначных чисел из \( 2525252 \).
   Решение: Всего \( C(7,4) = 35 \), уникальных чисел: 16. Сумма всех уникальных чисел равна 113554.
   Ответ: 113554.
9. Сумма чисел после записи 1110. Решение: Первый круг чисел: сумма до числа 18 равна \( 1 + 2 + \dots + 18 = 171 \). После замены чисел: сумма \( 1 + 2 + \dots + 17 + 239 + 19 + 241 + 21 + \dots + 1110 \). Итоговая сумма: \( 622\,430 \).
   Ответ: \( 622\,430 \).
10. Вычислите: \( 339 \times 340 + 340 \times 341 + 341 \times 320 \).
    Решение: \( 340(339 + 341) + 341 \times 320 = 340 \times 680 + 109\,120 = 231\,200 + 109\,120 = 340\,320 \).
    Ответ: \( 340\,320 \).
11. Сумма номеров двух клеток в таблице \( 5 \times 5 \). Возможные варианты: 5 и 25.
    Ответ: Примеры сумм: 25 + 24 = 49 или 5 + 25 = 30 (возможны различные варианты).
12. Скорость Максима. Решение: Скорость Максима может быть \( 4 \) км/ч.
    Ответ: \( 4 \) км/ч (возможны другие значения, например, \( 6 \) км/ч).
13. Кубики с чётным числом окрашенных граней. Решение: Внутренние кубики + граничные с 2 гранями. Итого: \( 12 + 36 = 48 \).
    Ответ: 48 кубиков.
14. Месяц через 300 дней. Решение: 300 дней от 19 мая — 14 марта следующего года.
    Ответ: март.
15. Время путешествия. Решение: Разница времени: \( 03:46 - 12:01 + 24:00 = 15:45 \).
    Ответ: 15 часов 45 минут.
16. Перегородки в прямоугольнике с дыркой. Решение: Общее количество перегородок: \( 105 \times 205 - 15 \times 15 \times 4 = 21\,525 - 900 = 20\,625 \).
    Ответ: \( 20\,625 \).
17. Количество карандашей в мешке. Решение: Минимальное количество: 25 белых + 14 синих + 13 красных = 52. Возможные значения: \( 52 \leq N \leq 64 \).
    Ответ: 52.
18. Время для игры с одним полем. Решение: \( \frac{6 \times 5}{2} = 15 \) игр. При двух полях: \( \frac{15}{2} = 7.5 \). При одном поле: \( \frac{15}{1} \times 0.5 = 15 \times 3.25 = 48.75 \).
    Ответ: 48.75 часов.
19. Слово после АИРЛН. Решение: Следующее слово в порядке алфавита: АИРНЛ.
    Ответ: АИРНЛ.
20. Найдите неизвестное \( x \). Решение:
    \( 1273 + \frac{50632 - 239x}{13} = 2024 \).
    \( \frac{50632 - 239x}{13} = 751 \).
    \( 50632 - 239x = 9763 \).
    \( 239x = 40\,869 \).
    \( x = 171 \).
    Ответ: 171.