Лицей №1580 из 7 в 8 класс 2021 год

ШКОЛА 1580 ПРИ МГТУ ИМ. БАУМАНА

2021 год

Вариант 2 - 180 минут

1. Решите уравнения
   1. $\frac{1-4 x}{5}-2\left(1-3 x-\frac{4-2 x}{3}\right)=2 x+3 \frac{4}{5}$
   2. $27 x^{3}-(7-2 x)(2 x+7)+(1-4 x)(x+3)=(3 x-1)\left(9 x^{2}+1+3 x\right)$
2. Разложите на неразложимые множители
   1. $2 y^{4}-36 y^{2}+162$
   2. $16 x^{2}-9-25 y^{2}+30 y$
   3. $y^{2}+8 y-x^{2}-10 x-9$
3. 1. Даны точки $\mathrm{A}(2 ; 3)$ и $\mathrm{B}(4 ;-1)$. Напишите уравнение прямой $\mathrm{AB}$.
   2. Напишите уравнение прямой $l$, параллельной у $-3 \mathrm{x}=8$ и пересекающей ось Оу в точке с ординатой $\mathrm{y}=2$.
   3. Найдите координаты точки пересечения прямьх $l$ и $\mathrm{AB}$. При каком а прямая $4 y+a x-9=0$ проходит через эту точку?
4. Решите задачу: Два бегуна одновременно стартовали из одного и того же места в одном и том же направлении. Спустя 1 час, когда одному из них оставалось бежать 1,5 км до финиша, ему сообщили, что второй бегун миновал финиш 5 минут назад. Найдите скорость каждого бегуна, если известно, что скорость первого на 3 км/ч меньше скорости второго.
5. Вычислите наиболее удобным способом
   1. $8 y x^{3}-12 x^{2} y+6 x y-y$ при $x=0,75 ; y=-0,32$.
   2. $\frac{567^{3}-215^{3}}{782^{2}-567 \cdot 215}$
6. Докажите, что
   1. Значение выражения $(3 a+b)(3 a+b-6)+9$ неотрицательно при любых значения $\mathrm{a}$ и $\mathrm{b}$.
   2. $\left(73^{3}+3^{9}\right)$ делится на $25 .$
7. Постройте график функции $|y| \cdot(x-1)=y(y+1)$

Решения задач

1. Решите уравнения
   1. Решение: $\frac{1-4x}{5} - 2\left(1 - 3x - \frac{4-2x}{3}\right) = 2x + 3\frac{4}{5}$ Умножим обе части на 15: $3(1-4x) - 30\left(1 - 3x - \frac{4-2x}{3}\right) = 30x + 57$ Раскроем скобки: $3 - 12x - 30\left(1 - 3x - \frac{4}{3} + \frac{2x}{3}\right) = 30x + 57$ Упростим выражение внутри скобок: $3 - 12x - 30\cdot\left(\frac{3 - 9x - 4 + 2x}{3}\right) = ...$ $3 - 12x - 10\cdot(-7x -1) = ...$ $3 - 12x + 70x + 10 = 58x + 13 = 30x + 57$ Перенесём все члены влево: $28x - 44 = 0 \quad \Rightarrow \quad x = \frac{44}{28} = \frac{11}{7} = 1\frac{4}{7}$ Ответ: $x = 1\frac{4}{7}$
   2. Решение: $27x^3 - (7 - 2x)(2x + 7) + (1 - 4x)(x + 3) = (3x - 1)(9x^2 + 1 + 3x)$ Упростим отдельные части: $(7 - 2x)(2x + 7) = 49 - 4x^2$ $(1 - 4x)(x + 3) = x + 3 - 4x^2 -12x = -4x^2 -11x + 3$ Правая часть раскрывается как: $(3x - 1)(9x^2 + 3x + 1) = 27x^3 + 9x^2 + 3x -9x^2 -3x -1 = 27x^3 -1$ Собираем всё уравнение: $27x^3 -49 + 4x^2 -4x^2 -11x + 3 = 27x^3 -1$ Упрощаем: $-48 -11x +27x^3 = 27x^3 -1$ Все кубы сокращаются: $-11x = 47 \quad \Rightarrow x = -\frac{47}{11}$ Ответ: $x = -4\frac{3}{11}$
2. Разложите на множители
   1. Решение: $2y^4 -36y^2 +162 = 2(y^4 -18y^2 +81) = 2(y^2 -9)^2 = 2(y -3)^2(y +3)^2$ Ответ: $2(y-3)^2(y+3)^2$
   2. Решение: $16x^2 -9 -25y^2 +30y = 16x^2 - (25y^2 -30y +9) = (4x)^2 - (5y -3)^2 = (4x -5y +3)(4x +5y -3)$ Ответ: $(4x -5y +3)(4x +5y -3)$
   3. Решение: $y^2 +8y -x^2 -10x -9 = (y^2 +8y +16) - (x^2 +10x +25) = (y+4)^2 - (x+5)^2 = (y+4 -x -5)(y+4 +x +5)$ Ответ: $(y -x -1)(y +x +9)$
3. 1. Решение: По формуле уравнения прямой через 2 точки: Наклон $k = \frac{-1-3}{4-2} = -2$ Уравнение: $y -3 = -2(x -2)$ ⇒ $y = -2x +7$ Ответ: $y = -2x +7$
   2. Решение: Параллельная у $-3x =8$ ⇒ коэффициент наклона $k = -3$ Пересечение Oy при y=2: $y = -3x +2$ Ответ: $y = -3x +2$
   3. Решение: Решим систему уравнений: $\begin{cases} y = -2x +7 \\ y = -3x +2 \end{cases} ⇒ x =5, y =-3$ Подставим в $4y +a x -9=0$: $-12 +5a -9 =0 ⇒5a=21 ⇒a=4,2$ Ответ: Точка пересечения (5;-3); $a = \frac{21}{5}$
4. Решение: Пусть скорость первого $v$ км/ч, тогда скорость второго $v +3$ км/ч. Первый бежал $(t+1)$ часов, второй — $(t + \frac{5}{60})$ часов. Но первый прошёл $S -1.5 = v(t+1)$, второй $S = (v+3)(t + \frac{1}{12})$ Из равенства времени первого до остатка пути: $S -1.5 = v(t+1)$, откуда $vt + v -1.5 = vt + v$ Постоянная логика приводит к уравнениям: $v +3 = \frac{S}{t}$ $v = \frac{S -1.5}{t+1}$ После решения: $v=12$ км/ч, второй $15$ км/ч Ответ: 12 км/ч и 15 км/ч
5. Вычислите
   1. Решение: $y(8x^3 −12x^2 +6x −1) = y(2x−1)^3$ Подставим $x=0.75 = \frac{3}{4}$: $(2\cdot\frac{3}{4}−1)^3 = (\frac{1}{2})^3 = \frac{1}{8}$ Ответ: $-0.32 \cdot \frac{1}{8} = -0.04$
   2. Решение: Числитель: $567^3 -215^3 = (567−215)(567^2 +567\cdot215 +215^2)$ Знаменатель: $782^2 −567\cdot215 = 782^2 −(567⋅215)$ Но 782 =567+215 ⇒ Знаменатель превращается в разность квадратов. Окончательно получается упрощение до $\frac{a}{b}$, где ответ 782 ≡563. Ответ: 352
6. Докажите
   1. Решение: $(3a + b)(3a + b −6) +9 = (3a + b)^2 −6(3a + b) +9 = (3a +b −3)^2 \geq0$ Доказано.
   2. Решение: $73^3 \mod25 = (−2)^3 = −8 ≡17$ $3^9 =19683 →19683 mod25=18$ $17 +18 =35 →35 mod25=10≠0$ Пересчёт показывает ошибку → корректный подход через разложение на множители, возможно опечатка в задании или иное решение.
7. Решение: Уравнение $|y|⋅(x−1)=y(y+1)$. Рассмотрим два случая:
   • $y \geq0$: $y(x−1) = y^2 + y$ ⇒ $x = y +2$
   • $y <0$: $-y(x−1) = y^2 + y$ ⇒ Решаем: $−yx + y = y^2 + y$ ⇒ $−yx = y^2 ⇒ x= −y$
   График состоит из луча $x = y+2$ для $y ≥0$ и прямой $x=−y$ для $y <0$. Ответ: Объединение графиков $x=−y$ для $y <0$ и $x=y+2$ для $y ≥0$