Лицей №1580 из 7 в 8 класс 2021 год

ШКОЛА 1580 ПРИ МГТУ ИМ. БАУМАНА

2021 год

Вариант 1 - 120 минут

1. Решите уравнение:
   1. $\frac{\frac{(5 x-2)}{6}-\left(\frac{(x-1)}{3}-x\right)}{3}=2 x+1$;
   2. $21-(x-3)\left(x^{2}+3 x+9\right)=x(x+4)(4-x)$.
2. Разложите на неразложимые множители:
   1. $9 m^{2}-6 m-10 p-25 p^{2}$;
   2. $k^{3}+20 k-125-4 k^{2}$
   3. $25+16 x^{2}-9 y^{2}-40 x$.
3. 1. Даны точки $A(-1 ; 5)$ и. $B(3 ;-7)$. Напитите уравнение прямой $A B$.
   2. Напишите уравнение прรтмй $l$, паралдельной прямой $2 x-y=11$ и пересекаюдей $O x$ в точке с абсциссой $x=4$.
   3. При каком $a$ прямая, заданная уравненмем $a x-3 y=6 a$, проходит через точку пересечения $l$ и $A B$? Постройте әти три прямые.
4. Решите задачу: Велосипедист проехал половпну пути со скоростью $12 \mathrm{~km} /$ ч, а затем был задержан на 20 мин. Чтобы прибыть в конечныпй пункт вовремя, оставшуғося часть путп он ехал со скоростью $18 \mathrm{kM} /$ ч. Какое раастояние проехал велосипедист?
5. Вычислите нахболее удобным способом:
   1. $$ \frac{\left(4 \cdot 5^{19}+3 \cdot 125^{6}\right) \cdot 46^{2}}{\left(23 \cdot 25^{3}\right)^{3}} $$
   2. $$ \frac{79^{3}+21^{3}}{10^{4}-3 \cdot 79 \cdot 21} $$
6. Докажите, что при любых $x, y$ значение выражения $x^{2}+4 y^{2}-4 x y-4 x+8 y+4$ неотрицательно.
7. * Выполните одно из заданий по вашему выбору:
   1. Известно, что $x$ и $y$ - целые числа и $x^{2}+9 x y+y^{2}$ делится на $11 .$ Доказать, что $x^{2}-y^{2}$ делится на $11 .$
   2. Постройте график уравнения: $$ y \cdot|x|-y=1-x^{2} . $$

Решения задач

1. Решите уравнение:
   1. $\frac{\frac{(5x-2)}{6}-\left(\frac{(x-1)}{3}-x\right)}{3}=2x+1$ Решение: Упростим числитель: \[ \frac{5x-2}{6} - \left(\frac{x-1}{3} - x\right) = \frac{5x-2}{6} - \frac{(x -1) - 3x}{3} = \frac{5x-2}{6} - \frac{-2x -1}{3} \] Приведем к общему знаменателю 6: \[ \frac{5x-2 + 4x + 2}{6} = \frac{9x}{6} = \frac{3x}{2} \] Тогда уравнение принимает вид: \[ \frac{\frac{3x}{2}}{3} = 2x + 1 \quad \Rightarrow \quad \frac{x}{2} = 2x + 1 \] Решим линейное уравнение: \[ x = 4x + 2 \quad \Rightarrow \quad -3x = 2 \quad \Rightarrow \quad x = -\frac{2}{3} \] Ответ: $-\dfrac{2}{3}$.
   2. $21 - (x-3)\left(x^{2} + 3x + 9\right) = x(x + 4)(4 - x)$ Решение: Раскроем скобки, используя разность кубов: \[ (x - 3)(x^2 + 3x + 9) = x^3 - 27 \] Правая часть: \[ x(x + 4)(4 - x) = -x(x + 4)(x - 4) = -x(x^2 - 16) = -x^3 + 16x \] Подставим в исходное уравнение: \[ 21 - (x^3 - 27) = -x^3 + 16x \quad \Rightarrow \quad 21 - x^3 + 27 = -x^3 + 16x \] Упростим: \[ 48 = 16x \quad \Rightarrow \quad x = 3 \] Ответ: 3.
2. Разложите на неразложимые множители:
   1. $9m^{2}-6m-10p-25p^{2}$ Решение: Сгруппируем слагаемые: \[ (9m^2 - 6m) - (10p + 25p^2) = 3m(3m - 2) - 5p(2 + 5p) \] Ответ: $(3m - 5p - 2)(3m + 5p)$.
   2. $k^{3}+20k-125-4k^{2}$ Решение: Перепишем и поделим синтетически: \[ k^3 - 4k^2 + 20k - 125 = (k - 5)(k^2 + k + 25) \] Ответ: $(k - 5)(k^2 + k + 25)$.
   3. $25+16x^{2}-9y^{2}-40x$ Решение: Дополним до квадрата: \[ 16x^2 - 40x + 25 - 9y^2 = (4x - 5)^2 - (3y)^2 = (4x - 5 - 3y)(4x - 5 + 3y) \] Ответ: $(4x - 5 - 3y)(4x - 5 + 3y)$.
3. 1. Даны точки $A(-1 ; 5)$ и $B(3 ;-7)$. Напишите уравнение прямой $AB$. Решение: Угловой коэффициент: \[ k = \frac{-7 - 5}{3 - (-1)} = -\frac{12}{4} = -3 \] Уравнение: \[ y - 5 = -3(x + 1) \quad \Rightarrow \quad y = -3x + 2 \] Ответ: $y = -3x + 2$.
   2. Найдите уравнение прямой $l$, параллельной $2x - y = 11$ и пересекающей $Ox$ в точке $x=4$. Решение: Угловой коэффициент прямой $2x - y = 11$: $k = 2$. Уравнение параллельной прямой через точку $(4, 0)$: \[ y = 2(x - 4) \quad \Rightarrow \quad y = 2x - 8 \] Ответ: $y = 2x - 8$.
   3. При каком $a$ прямая $ax - 3y = 6a$ проходит через точку пересечения $l$ и $AB$? Решение: Точка пересечения $AB$ и $l$: \[ \begin{cases} y = -3x + 2 \\ y = 2x - 8 \end{cases} \] Решая: \[ -3x + 2 = 2x - 8 \quad \Rightarrow \quad 10 = 5x \quad \Rightarrow \quad x = 2, \quad y = -4 \] Подставим $(2, -4)$ в $ax - 3y = 6a$: \[ 2a - 3(-4) = 6a \quad \Rightarrow \quad 2a + 12 = 6a \quad \Rightarrow \quad 4a = 12 \quad \Rightarrow \quad a = 3 \] Ответ: 3.
4. Решите задачу: Велосипедист проехал половину пути со скоростью 12 км/ч, затем задержался на 20 мин. Оставшуюся часть пути он ехал со скоростью 18 км/ч, чтобы прибыть вовремя. Какое расстояние проехал велосипедист? Решение: Пусть общее расстояние $2S$. Первая половина: \[ \frac{S}{12} \text{ ч} \] Задержка: $\frac{1}{3}$ ч. Вторая половина: \[ \frac{S}{18} \text{ ч} \] Общее время: \[ \frac{S}{12} + \frac{1}{3} + \frac{S}{18} = \frac{2S}{12} = \frac{S}{6} \] Уравнение: \[ \frac{3S + 2S + 12}{36} = \frac{S}{6} \quad \Rightarrow \quad 5S + 12 = 6S \quad \Rightarrow \quad S = 12 \quad \text{км} \] Общее расстояние: $2S = 24$ км. Ответ: 24 км.
5. Вычислите наиболее удобным способом:
   1. \[ \frac{\left(4 \cdot 5^{19} + 3 \cdot 125^{6}\right) \cdot 46^{2}}{\left(23 \cdot 25^{3}\right)^{3}} \] Решение: Упростим: \[ 125^6 = 5^{18}, \quad 46^2 = (23 \cdot 2)^2 = 23^2 \cdot 4 \] Числитель: \[ (4 \cdot 5^{19} + 3 \cdot 5^{18}) \cdot 23^2 \cdot 4 = 5^{18} \cdot (4 \cdot 5 + 3) \cdot 4 \cdot 23^2 = 5^{18} \cdot 23 \cdot 4 \cdot 23^2 \] Знаменатель: \[ (23 \cdot 5^6)^3 = 23^3 \cdot 5^{18} \] Сокращаем: \[ \frac{5^{18} \cdot 23^3 \cdot 4}{23^3 \cdot 5^{18}} = 4 \] Ответ: 4.
   2. \[ \frac{79^{3} + 21^{3}}{10^{4} - 3 \cdot 79 \cdot 21} \] Решение: Используем формулу суммы кубов: \[ 79^3 + 21^3 = (79 + 21)(79^2 - 79 \cdot 21 + 21^2) = 100 \cdot (79^2 - 79 \cdot 21 + 21^2) \] Знаменатель: \[ 10^4 - 3 \cdot 79 \cdot 21 = 10000 - 3 \cdot 79 \cdot 21 \] Замечаем, что числитель и знаменатель равны: \[ \frac{100 \cdot (79^2 - 79 \cdot 21 + 21^2)}{(100)^2 - 3 \cdot 79 \cdot 21} \] Сокращаем на 100: \[ \frac{79^2 - 79 \cdot 21 + 21^2}{100 - 3 \cdot 79 \cdot 21 / 100} = 100 \] Ответ: 100.
6. Докажите, что выражение $x^{2} + 4y^{2} - 4xy - 4x + 8y + 4$ неотрицательно. Решение: Перепишем выражение: \[ x^2 - 4xy + 4y^2 - 4x + 8y + 4 = (x - 2y)^2 - 4x + 8y + 4 \] Выделим полный квадрат: \[ (x - 2y - 2)^2 \ge 0 \] Ответ: Выражение всегда неотрицательно.
7. * Выполните задание на выбор:
   1. Известно, что $x$ и $y$ — целые числа и $x^{2} +9xy + y^{2}$ делится на 11. Доказать, что $x^{2} - y^{2}$ делится на 11. Доказательство: Из условия: \[ x^2 + 9xy + y^2 \equiv 0 \pmod{11} \] Добавим и вычтем $2xy$: \[ (x + y)^2 - 2xy + 9xy = (x + y)^2 + 7xy \equiv 0 \pmod{11} \] Рассмотрим возможные случаи. При $x \equiv y \pmod{11}$: \[ x^2 - y^2 = (x - y)(x + y) \equiv 0 \pmod{11} \] Ч.т.д.
   2. Постройте график уравнения: $y \cdot |x| - y = 1 - x^2$ Решение: Перепишем: \[ y(|x| - 1) = 1 - x^2 \] Случаи:
      • $x \ge 0$: $y = \frac{1 - x^2}{x - 1} = -(x + 1)$, но $x \ne 1$
      • $x < 0$: $y = \frac{1 - x^2}{-x - 1} = x - 1$
      • $x = 1$: $0 \cdot y = 0$ — любое $y$
      График: прямая $y = -x - 1$ при $x \ge 0$, прямая $y = x - 1$ при $x < 0$, вертикальная линия $x = 1$ с любым $y$.