8 800 707 6729
8 800 707 6729Telegram канал

Лицей №1580 из 7 в 8 класс 2021 год вариант 2 — 120 минут

Школа:
Сложность:
Дата экзамена: 2021
Школа:
Сложность:
Дата экзамена: 2021
youit.school ©

ШКОЛА 1580 ПРИ МГТУ ИМ. БАУМАНА


2021 год


Вариант 1 - 120 минут



  1. Решите уравнение:
    1. $\frac{\frac{(5 x-2)}{6}-\left(\frac{(x-1)}{3}-x\right)}{3}=2 x+1$;
    2. $21-(x-3)\left(x^{2}+3 x+9\right)=x(x+4)(4-x)$.
  2. Разложите на неразложимые множители:
    1. $9 m^{2}-6 m-10 p-25 p^{2}$;
    2. $k^{3}+20 k-125-4 k^{2}$
    3. $25+16 x^{2}-9 y^{2}-40 x$.
    1. Даны точки $A(-1 ; 5)$ и. $B(3 ;-7)$. Напитите уравнение прямой $A B$.
    2. Напишите уравнение прรтмй $l$, паралдельной прямой $2 x-y=11$ и пересекаюдей $O x$ в точке с абсциссой $x=4$.
    3. При каком $a$ прямая, заданная уравненмем $a x-3 y=6 a$, проходит через точку пересечения $l$ и $A B$? Постройте әти три прямые.
  4. Решите задачу: Велосипедист проехал половпну пути со скоростью $12 \mathrm{~km} /$ ч, а затем был задержан на 20 мин. Чтобы прибыть в конечныпй пункт вовремя, оставшуғося часть путп он ехал со скоростью $18 \mathrm{kM} /$ ч. Какое раастояние проехал велосипедист?
  5. Вычислите нахболее удобным способом:
    1. $$ \frac{\left(4 \cdot 5^{19}+3 \cdot 125^{6}\right) \cdot 46^{2}}{\left(23 \cdot 25^{3}\right)^{3}} $$
    2. $$ \frac{79^{3}+21^{3}}{10^{4}-3 \cdot 79 \cdot 21} $$
  6. Докажите, что при любых $x, y$ значение выражения $x^{2}+4 y^{2}-4 x y-4 x+8 y+4$ неотрицательно.
  7. * Выполните одно из заданий по вашему выбору:
    1. Известно, что $x$ и $y$ - целые числа и $x^{2}+9 x y+y^{2}$ делится на $11 .$ Доказать, что $x^{2}-y^{2}$ делится на $11 .$
    2. Постройте график уравнения: $$ y \cdot|x|-y=1-x^{2} . $$
Материалы школы Юайти
youit.school ©

Решения задач



    1. Решите уравнение: $\frac{\frac{5x-2}{6}-\left(\frac{x-1}{3}-x\right)}{3}=2x+1$
      Решение:
      Упростим числитель поэтапно: \begin{align} \frac{x-1}{3} - x &= \frac{x-1 -3x}{3} = \frac{-2x -1}{3} \\ \frac{5x-2}{6} - \left(\frac{-2x -1}{3}\right) &= \frac{5x-2}{6} + \frac{2x+1}{3} = \frac{5x-2 +4x+2}{6} = \frac{9x}{6} = \frac{3x}{2} \\ \frac{3x/2}{3} &= \frac{x}{2} \end{align} Уравнение принимает вид: $ \frac{x}{2} = 2x + 1 \implies x = -2\cdot1 \implies x = -\frac{2}{3} $ Ответ: $-\dfrac{2}{3}$.

    2. Решите уравнение: $21 - (x-3)(x^2+3x+9) = x(x+4)(4-x)$
      Решение:
      Используем формулу разности кубов $(x-3)(x^2+3x+9) = x^3 -27$: \begin{align} 21 - (x^3 -27) &= -x(x^2 -16) \\ 48 - x^3 &= -x^3 + 16x \\ 48 &= 16x \implies x = 3 \end{align} Подстановка $x=3$ подтверждает решение: левая часть $21 -0 =21$, правая часть $3\cdot7\cdot1=21$.
      Ответ: $3$.


    1. Разложите на множители: $9m^2 -6m -10p -25p^2$
      Решение:
      Группируем слагаемые и выделяем полные квадраты: \begin{align} 9m^2 -25p^2 -6m -10p &= (3m -5p)(3m+5p) -2(3m +5p) \\ &= (3m +5p)(3m -5p -2) \end{align} Ответ: $(3m +5p)(3m -5p -2)$.

    2. Разложите на множители: $k^3 +20k -125 -4k^2$
      Решение:
      Находим рациональный корень $k=5$ по теореме Руффини: \begin{align} k^3 -4k^2 +20k -125 &= (k-5)(k^2 +k +25) \end{align} Ответ: $(k -5)(k^2 +k +25)$.

    3. Разложите на множители: $25 +16x^2 -9y^2 -40x$
      Решение:
      Выделяем квадраты: \begin{align} 16x^2 -40x +25 -9y^2 &= (4x -5)^2 - (3y)^2 \\ &= (4x -5 -3y)(4x -5 +3y) \end{align} Ответ: $(4x -5 -3y)(4x -5 +3y)$.


    1. Напишите уравнение прямой $AB$ для точек $A(-1, 5)$ и $B(3, -7)$
      Решение:
      Угловой коэффициент $k = \frac{-7-5}{3 - (-1)} = -3$.
      Уравнение для точки $A$: $y -5 = -3(x +1) \implies y = -3x +2$.
      Ответ: $y = -3x +2$.

    2. Напишите уравнение прямой $l$, параллельной $2x - y =11$ и пересекающей $Ox$ в $x=4$
      Решение:
      Параллельная прямая имеет вид $2x - y =b$. Подставляя точку $(4,0)$:
      $8 -0 =b \implies b=8 \implies 2x - y =8 \implies y = 2x -8$.
      Ответ: $y = 2x -8$.

    3. Найдите $a$, при котором прямая $ax -3y =6a$ проходит через точку пересечения $l$ и $AB$
      Решение:
      Находим точку пересечения прямых из пунктов (а) и (b): \begin{align} -3x +2 &= 2x -8 \implies x =2, \; y = -4 \\ Подстановка в уравнение: a\cdot2 -3(-4) &=6a \implies2a +12 =6a \implies a=3 \end{align} Ответ: $a=3$.


  4. Задача:
    Велосипедист проехал полпути со скоростью $12$ км/ч, задержался на $20$ мин, затем со скоростью $18$ км/ч. Найдите расстояние.
    Решение:
    Пусть расстояние $S$, время по плану $\frac{S}{12}$ часов. Реальное время: \begin{align} \frac{S}{24} + \frac{S}{36} + \frac{1}{3} &= \frac{S}{12} \\ Умножаем на72: 3S +2S +24 &=6S \implies S=24 \text{ км} \end{align} Ответ: $24$ км.

  5. Вычислите удобным способом:
    1. $ \frac{\left(4 \cdot 5^{19}+3 \cdot 125^{6}\right) \cdot 46^{2}}{\left(23 \cdot 25^{3}\right)^{3}} $ Решение:
      Упрощаем степени: \begin{align} 125^6 &=5^{18}, \quad 25^3=5^6, \quad 46^2 = (2\cdot23)^2=4\cdot23^2 \\ Числитель &= (4\cdot5^{19}+3\cdot5^{18})\cdot4\cdot23^2 =23\cdot5^{18}\cdot4\cdot23^2 \\ Знаменатель &=23^3\cdot5^{18} \\ Ответ &= \frac{4}{23} \end{align}

    2. $ \frac{79^{3}+21^{3}}{10^{4}-3 \cdot 79 \cdot 21} $ Решение:
      Используем формулу суммы кубов: \begin{align} 79^3 +21^3 &= (79 +21)(79^2 -79\cdot21 +21^2) =100\cdot5023 \\ Знаменатель &=10000 -3\cdot79\cdot21 =5023 \\ Ответ &=100 \end{align}


  6. Докажите неотрицательность выражения: $x^2 +4y^2 -4xy -4x +8y +4$
    Решение:
    Представляем в виде квадрата: \begin{align} &x^2 -4xy +4y^2 -4x +8y +4 \\ =& (x -2y)^2 -4(x -2y) +4 = (x -2y -2)^2 \geq0 \end{align} Доказано.

  7. Дополнительное задание (а):
    Известно, что $x^2 +9xy +y^2$ делится на $11$. Докажите, что $x^2 -y^2$ делится на $11$.
    Решение:
    Из делимости: \begin{align} x^2 +9xy +y^2 &\equiv0 \pmod{11} \\ Заметим, уравнение имеет корень с дискриминантом D=81y² -4y²=77y² ≡0 \pmod{11} \\ Тогда x ≡ y \pmod{11} \implies x^2 -y^2 =(x -y)(x +y) ≡0 \pmod{11} \end{align}
Материалы школы Юайти