8 800 707 6729
8 800 707 6729Telegram канал

Лицей №1580 из 7 в 8 класс 2021 год вариант 1 — 180 минут

Школа:
Сложность:
Дата экзамена: 2021
Школа:
Сложность:
Дата экзамена: 2021
youit.school ©

ШКОЛА 1580 ПРИ МГТУ ИМ. БАУМАНА


2021 год


Вариант 1 - 180 минут



  1. Решите уравнения
    1. $\frac{x-1}{3}-3\left(2 x-\frac{7-2 x}{4}\right)=2 \frac{1}{4}-5 x$
    2. $8 x^{3}-(5-3 x)(3 x+5)+(1-9 x)(x+2)=(1+2 x)\left(4 x^{2}+1-2 x\right)$
  2. Разложите на неразложимые множители
    1. $3 y^{4}-24 y^{2}+48$
    2. $9 x^{2}-4-25 n^{2}-20 n$
    3. $x^{3}+4 x-y^{2}+6 y-5$
    1. Даны точки $\mathrm{A}(1 ;-4)$ и $\mathrm{B}(3 ; 2)$. Напишите уравнение прямой $\mathrm{AB}$
    2. Напишите уравнение прямой $l$, параллельной $2 \mathrm{x}+\mathrm{y}=11$ и пересекающей ось Оу в точке с ординатой у $=3$.
    3. Найдите координаты точки пересечения прямых $l$ и $\mathrm{AB}$. При каком а прямая $5 y-a x+11=0$ проходит через эту точку?
  4. Решите задачу: Два бегуна одновременно стартовали из одного и того же места в одном и том же направлении. Спустя 1 час, когда одному из них оставалось бежать 1км до финиша, ему сообщили, что второй бегун миновал финиш 5 минут назад. Найдите скорость каждого бегуна, если известно, что скорость первого на 2 км/ч меньше скорости второго.
  5. Вычислите наиболее удобным способом
    1. $27 \mathrm{xy}^{3}-27 \mathrm{y}^{2} \mathrm{x}-\mathrm{x}+9 \mathrm{xy}$ при $\mathrm{x}=-0,81 ; \mathrm{y}=\frac{4}{9}$
    2. $\frac{327^{3}+173^{3}}{327 \cdot 173+154^{2}}$
  6. Докажите, что
    1. значение выражения $(\mathrm{x}-2 \mathrm{y})(\mathrm{x}-2 \mathrm{y}-4)+4$ неотрицательно при любьх значения х х и у.
    2. $\left(19^{3}+3^{12}\right)$ делится на 25.
  7. Постройте график уравнения $|y| \cdot(x+1)=y(y-1)$
Материалы школы Юайти
youit.school ©

Решения задач



  1. Решите уравнения
    1. $\frac{x-1}{3} - 3\left(2x - \frac{7 - 2x}{4}\right) = 2\frac{1}{4} - 5x$
      Решение:
      Преобразуем уравнение:
      $\frac{x - 1}{3} - 3\left(\frac{8x - (7 - 2x)}{4}\right) = \frac{9}{4} - 5x$
      Умножим все члены на 12 для устранения знаменателей:
      $4(x - 1) - 9(10x - 7) = 27 - 60x$
      Раскроем скобки:
      $4x - 4 - 90x + 63 = 27 - 60x$
      Приведём подобные:
      $-86x + 59 = 27 - 60x$
      $-26x = -32 \quad \Rightarrow \quad x = \frac{32}{26} = \frac{16}{13} = 1\frac{3}{13}$
      Ответ: $1\frac{3}{13}$.

    2. $8x^{3} - (5 - 3x)(3x + 5) + (1 - 9x)(x + 2) = (1 + 2x)\left(4x^{2} + 1 - 2x\right)$
      Решение:
      Раскроем скобки:
      $8x^3 - (25 - 9x^2) + (x + 2 - 9x^2 - 18x) = 4x^2 + 1 - 2x + 8x^3 + 2x - 4x^2$
      Упростим:
      $8x^3 - 25 + 9x^2 + x + 2 - 9x^2 - 18x = 8x^3 + 1 - 16x$
      Сократим подобные:
      $8x^3 -17x -23 = 8x^3 -16x +1$
      $-x = 24 \quad \Rightarrow \quad x = -24$
      Ответ: $-24$.


  2. Разложите на неразложимые множители
    1. $3y^{4} - 24y^{2} + 48$
      Решение:
      Вынесем общий множитель:
      $3(y^4 - 8y^2 + 16) = 3(y^2 - 4)^2 = 3(y - 2)^2(y + 2)^2$
      Ответ: $3(y - 2)^2(y + 2)^2$.

    2. $9x^{2} - 4 - 25n^{2} -20n$
      Решение:
      Представим выражение как разность квадратов:
      $9x^2 - (25n^2 + 20n +4) = (3x)^2 - (5n + 2)^2 = (3x -5n -2)(3x +5n +2)$
      Ответ: $(3x -5n -2)(3x +5n +2)$.

    3. $x^{3} +4x - y^{2} +6y -5$
      Решение:
      Сгруппируем члены:
      $x^3 +4x - (y^2 -6y +5) = x(x^2 +4) - (y -3)^2 +4$
      Представим как сумму куба и квадрата:
      $x^3 +4x = x(x^2 +4)$ ⇒ остаётся выражение $x(x^2 +4) - (y -3)^2 +4$. Не удаётся разложить далее рационально.
      Ответ: $x^3 +4x - (y -3)^2 +4$.


    1. Уравнение прямой AB через точки $A(1;-4)$ и $B(3;2)$:
      Решение:
      $k = \frac{2 - (-4)}{3 - 1} = 3$
      Уравнение: $y +4 = 3(x -1) \Rightarrow 3x - y -7 = 0$
      Ответ: $3x - y -7 = 0$.

    2. Уравнение прямой l:
      Решение:
      Параллельна $2x + y =11$ ⇒ $k = -2$
      При пересечении оси Oy в точке y=3: $y = -2x +3$
      Ответ: $2x + y -3 = 0$.

    3. Точка пересечения прямых:
      Решение:
      Решим систему:
      $\begin{cases} 3x - y =7 \\ 2x + y =3 \end{cases}$
      Сложив уравнения: $5x =10 \Rightarrow x=2$, тогда $y=3 -4 =-1$
      Подставим в уравнение $5(-1) - a(2) +11 =0 \Rightarrow a =3$
      Ответ: Точка пересечения $(2;-1)$, $a=3$.


  4. Решение задачи о бегунах:
    Пусть скорость первого $v$ км/ч, второго $v+2$ км/ч.
    Финишная дистанция $S =v +1$ км
    Второй пробежал за $\frac{S}{v+2} = \frac{v+1}{v+2}$ часов
    Уравнение времени: $\frac{v+1}{v+2} + \frac{5}{60} =1$
    Решив: $v=10$ км/ч, второй $12$ км/ч
    Ответ: 10 км/ч и 12 км/ч.

  5. Вычислите:
    1. Подстановка $x=-0,81$, $y=\frac{4}{9}$:
      Упростим выражение:
      $27xy^3 -27xy^2 -x +9xy =x(27y^3 -27y^2 +9y -1) =x(9y^2(3y -3) +3(3y -3)) =x(9y^2+3)(3y -3)$
      Ответ: $-2,43$.

    2. $\frac{327^3 +173^3}{327 \cdot173 +154^2} = \frac{(327+173)((327)^2 -327\cdot173 +(173)^2)}{327\cdot173 + (327 -173)^2 /4} =500$
      Ответ: $500$.


  6. Доказательства:
    1. $(x -2y)(x -2y -4)+4 = (x -2y -2)^2 \ge0$
      Доказано неотрицательность.

    2. $19^3 +3^{12} \equiv9 +16 =25 \equiv0 \mod25 \Rightarrow$ делится на 25.


  7. График уравнения $|y| \cdot(x +1) =y(y -1)$
    Ответ:
    - При $y \ge0$: $y(x+1) =y(y -1) \Rightarrow y =x +2$ (если $y \neq0$)
    - При $y <0$: $-y(x+1) =y(y -1) \Rightarrow y =-x$
    - При $y=0$: уравнение верно для любого $x \Rightarrow$ ось Ox
Материалы школы Юайти