Лицей №1580 из 7 в 8 класс 2021 год

ШКОЛА 1580 ПРИ МГТУ ИМ. БАУМАНА

2021 год

Вариант 1 - 120 минут

1. Решите уравнения:
   1. $ \frac{x+1}{4}-2 x=\frac{5-3 x}{2}-\left(x+\frac{x-3}{8}\right) $
   2. $ \left(4 x^{2}-2 x+1\right)(2 x+1)+x(4 x+3)(1-2 x)=11-2 x^{2} . $
2. Разложите на неразложимые множители:
   1. $b^{3}+8 b^{2}-25 b-200$
   2. $16+9 y^{2}-25 x^{2}-24 y$
   3. $125 x y^{3}-8 x+30 y(2 x-5 x y)$
3. 1. Даны точки $A(4 ; 3)$ и $B(-3 ;-11)$. Напишите уравнение прямой $A B$.
   2. Напишите уравнение прямой $l$, параллельной прямой $-3 x+2 y=7$ и пересекающейся с прямо $A B$ на оси $O y$.
      Постройте полученные прямые.
4. Решите задачу:
   Двое рабочих должны были сделать по 50 одинаковых деталей. Второй начал работать на 1 час позже первого. Через 2,5 часа после этого оказалось, что второй сделал на 4 детали больше, тем первый. А ещё через 1 час 30 минут второму осталось сделать в 2 раза меньше дегалей, чем первому. Сколько деталей в час делает каждый рабочий?
5. Докахите, что:
   1. $\frac{\left.\text { (8 }^{5}+16^{3}-5 \cdot 2^{11}\right) \text { делится на } 26 .}{}$
   2. Значение выражения $x^{2}+9 y^{2}-2 x y+2-8 y$ неотрицательно прй любых значениях $x$ и $y$.
6. Вычислите наиболее удобным способом: $$ \frac{\left(97^{2}-53^{2}\right)\left(150^{2}-97 \cdot 53\right)}{97^{3}-53^{3}}. $$
7. Постройте график уравнения: $$ |x-2| \cdot y=x^{2}-4 $$

Решения задач

1. Решите уравнения:
   1. $$ \frac{x+1}{4}-2x=\frac{5-3x}{2}-\left(x+\frac{x-3}{8}\right) $$ Решение: Умножив обе части уравнения на 8 для устранения знаменателей: $$ 2(x + 1) - 16x = 4(5 - 3x) - 8x - (x - 3) $$ Упростим выражения: $$ 2x + 2 - 16x = 20 - 12x - 8x - x + 3 $$ $$ -14x + 2 = 23 - 21x $$ Переносим все слагаемые с \(x\) влево, константы вправо: $$ 7x = 21 \implies x = 3 $$ Ответ: \(x = 3\).
   2. $$ \left(4x^{2}-2x+1\right)(2x+1)+x(4x+3)(1-2x)=11-2x^{2} $$ Решение: Раскроем произведения: Первое слагаемое: $$ (4x^2 - 2x + 1)(2x +1) = 8x^3 + 1 $$ Второе слагаемое: $$ x(4x + 3)(1 - 2x) = -8x^3 - 2x^2 + 3x $$ Суммируем левую часть: $$ 8x^3 +1 -8x^3 -2x^2 +3x = -2x^2 +3x +1 $$ Получаем уравнение: $$ -2x^2 +3x +1 =11 -2x^2 \implies 3x =10 \implies x = \frac{10}{3} $$ Ответ: \(x = \frac{10}{3}\).
2. Разложите на множители:
   1. $$ b^{3}+8b^{2}-25b-200 = (b + 8)(b -5)(b +5) $$
   2. $$ 16+9y^{2}-25x^{2}-24y = (3y -4 -5x)(3y -4 +5x) $$
   3. $$ 125xy^{3}-8x+30y(2x-5xy) = x(5y -2)^3 $$
3. 1. Уравнение прямой \(AB\) через точки \(A(4;3)\) и \(B(-3;-11)\): Найдём угловой коэффициент: $$ k = \frac{-11 -3}{-3 -4} = 2 $$ Уравнение прямой: $$ y = 2x -5 $$ Ответ: \(y = 2x -5\).
   2. Прямая \(l\) параллельна \(-3x +2y =7\), значит её угловой коэффициент равен \(\frac{3}{2}\). Поскольку прямые пересекаются на оси \(Oy\), подставим \(x=0\) в уравнение \(AB\): $$ y = 2 \cdot 0 -5 = -5 $$ Уравнение прямой \(l\) с \(k=\frac{3}{2}\) через точку \((0;-5)\): $$ y = \frac{3}{2}x -5 \quad \text{или} \quad 3x -2y -10 =0 $$ Ответ: \(3x -2y -10 =0\).
4. Пусть первый рабочий делает \(x\) деталей в час, второй — \(y\). Получаем систему уравнений: \[ \begin{cases} 2{,5}y -3{,5}x =4 \\ 5x -8y = -50 \end{cases} \] Решение: Из второго уравнения выразим \(5x =8y -50\) и подставим в первое: \[ 2{,5}y -3{,5} \cdot \frac{8y -50}{5} =4 \implies y =10, \quad x=6 \] Ответ: 6 деталей/час и 10 деталей/час.
5. Доказательства:
   1. $$ 8^5 +16^3 -5 \cdot2^{11} =2^{15} +2^{12} -5 \cdot2^{11} =2^{11}(13) \quad \vdots \;26 $$
   2. $$ x^{2} +9y^{2} -2xy +2 -8y = (x -y)^2 +8(y -\frac{1}{2})^2 \ge0 $$
6. Упростим выражение: \[ \frac{(97^2 -53^2)(150^2 -97 \cdot53)}{97^3 -53^3}=150 \]
7. График уравнения \(|x-2| \cdot y =x^2 -4\): Для \(x >2\): \(y =x +2\). Для \(x 2\), \(y=-x -2\) при \(x <2\) и вертикальной прямой \(x=2\).