Лицей №1580 из 6 в 7 класс 2020 год

1. Найдите значение выражения: \[ -8{,}5 \cdot 1\tfrac{3}{17} + \bigl(1\tfrac{45}{46} - 2\tfrac{7}{23}\bigr) : 1\tfrac{7}{23}. \]
2. Решите уравнение: \[ 2\cdot\bigl(0{,}6x - 3\bigr) - 1{,}75 = 3\cdot\bigl(-0{,}1x + 3\bigr) + 2{,}3. \]
3. Какую цифру одновременно нужно поставить вместо каждой звёздочки, чтобы число делилось:
   1. \(*38*7\) на 9: ;
   2. \(*134*\) на 15:.
4. Огород имеет форму прямоугольника, его стороны относятся как \(17:12\), и ширина меньше длины на 250 м. За сколько минут сторож может обойти вокруг огорода, идя со скоростью 3 км/ч?
5. Если некоторое число увеличить на 15%, то получится 207. На сколько процентов нужно уменьшить это число, чтобы получить 126?
6. Для нумерации страниц учебника по математике потребовалось 1404 цифр. Сколько страниц в учебнике?
7. Деревянный кубик размером \(4\times4\times4\) покрасили красной краской. Затем его распилили на 64 одинаковых кубика со стороной 1. Сколько маленьких кубиков не имеет ни одной покрашенной стороны?
8. За 30 минут 6 поваров могут почистить 12 кг картофеля. Сколько поваров необходимо, чтобы за 25 минут почистить 15 кг картофеля?
9. Найдите два числа, если их сумма равна 432, а наибольший общий делитель равен 36.
10. Четверо друзей купили вместе лодку. Первый внёс половину суммы, вносимой остальными; второй — треть суммы, вносимой остальными; третий — четверть суммы, вносимой остальными; а четвёртый внёс 130 ₽. Сколько стоит лодка и сколько внёс каждый?

Решения задач

1. Найдите значение выражения: \[ -8{,}5 \cdot 1\tfrac{3}{17} + \bigl(1\tfrac{45}{46} - 2\tfrac{7}{23}\bigr) : 1\tfrac{7}{23}. \]
   Решение: \[ -8{,}5 \cdot 1\tfrac{3}{17} = -\frac{17}{2} \cdot \frac{20}{17} = -10 \] \[ 1\tfrac{45}{46} = \frac{91}{46}, \quad 2\tfrac{7}{23} = \frac{53}{23} \] \[ \frac{91}{46} - \frac{53}{23} = \frac{91 - 106}{46} = -\frac{15}{46} \] \[ 1\tfrac{7}{23} = \frac{30}{23} \quad \Rightarrow \quad -\frac{15}{46} : \frac{30}{23} = -\frac{15}{46} \cdot \frac{23}{30} = -\frac{1}{4} \] \[ -10 + \left(-\frac{1}{4}\right) = -10{,}25 = -\frac{41}{4} \] Ответ: $-\frac{41}{4}$.
2. Решите уравнение: \[ 2\cdot\bigl(0{,}6x - 3\bigr) - 1{,}75 = 3\cdot\bigl(-0{,}1x + 3\bigr) + 2{,}3. \]
   Решение: \[ 1{,}2x - 6 - 1{,}75 = -0{,}3x + 9 + 2{,}3 \] \[ 1{,}2x - 7{,}75 = -0{,}3x + 11{,}3 \] \[ 1{,}5x = 19{,}05 \quad \Rightarrow \quad x = \frac{19{,}05}{1{,}5} = 12{,}7 \] Ответ: 12,7.
3. Найдите цифры для чисел:
   1. \(*38*7\) на 9:
      Сумма цифр: $* + 3 + 8 + * + 7 = * + * + 18$. Для делимости на 9 сумма должна быть кратна 9. Возможные варианты: $1 + 8$, тогда число 13887 (сумма 27).
      Ответ: 1 и 8.
   2. \(*134*\) на 15:
      Последняя цифра 0 или 5 (делимость на 5), сумма цифр кратна 3. Для *1345: сумма $* + 1 + 3 + 4 + 5 = * + 13$. Кратно 3 при * = 2, 5, 8. Пример: 21345 (сумма 15).
      Ответ: 2 и 5.
4. Огород имеет форму прямоугольника со сторонами 17:12. Ширина меньше длины на 250 м.
   Решение: \[ 17x - 12x = 250 \quad \Rightarrow \quad x = 50 \] \[ \text{Стороны: } 600 \text{ м и } 850 \text{ м. Периметр: } 2(600 + 850) = 2900 \text{ м = 2,9 км} \] \[ \text{Время: } \frac{2{,}9}{3} \times 60 = 58 \text{ минут} \] Ответ: 58 минут.
5. Увеличение числа на 15% → 207.
   Решение: \[ \text{Исходное число: } \frac{207}{1{,}15} = 180 \] \[ \text{Уменьшение: } \frac{180 - 126}{180} \times 100% = 30\% \] Ответ: 30\%.
6. Нумерация страниц учебника:
   Решение: \[ 9 + 180 + \frac{1404 - 189}{3} = 9 + 90 + 405 = 504 \] Ответ: 504 страницы.
7. Неокрашенные кубики:
   Внутренний куб 2×2×2 → 8 кубиков. Ответ: 8.
8. Необходимое количество поваров:
   Уравнение производительности: \[ \frac{6 \cdot 30}{12} = \frac{x \cdot 25}{15} \quad \Rightarrow \quad x = \frac{6 \cdot 30 \cdot 15}{12 \cdot 25} = 9 \] Ответ: 9 поваров.
9. Два числа с НОД 36 и суммой 432:
   \[ 36a + 36b = 432 \quad \Rightarrow \quad a + b = 12 \quad (5 и 7) \] Ответ: 180 и 252.
10. Стоимость лодки:
    Уравнение вкладов: \[ \frac{S}{3} + \frac{S}{4} + \frac{S}{5} + 130 = S \quad \Rightarrow \quad S = 600 \text{ ₽} \] Вклады: 200 ₽, 150 ₽, 120 ₽, 130 ₽. Ответ: 600 ₽; 200 ₽, 150 ₽, 120 ₽, 130 ₽.