Лицей №1580 из 6 в 7 класс 2020 год

1. Найдите значение выражения: \[ \bigl(5\tfrac{3}{4} - 6\tfrac{1}{7}\bigr)\;\cdot\;1\tfrac{3}{11}\;-\;2{,}25 : 1\tfrac{1}{2}. \]
2. Решите уравнение: \[ 4\cdot(0{,}7x - 4) - 4{,}25 = 3\cdot(-0{,}2x + 6) + 4{,}25. \]
3. Какую цифру одновременно нужно поставить вместо каждой звёздочки, чтобы число делилось
   1. \(\;*387*\) на 5:;
   2. \(\;5**04\) на 36:.
4. Территория лицея имеет форму прямоугольника, причём стороны прямоугольника относятся как 19:5 и ширина меньше длины на 700 м. За сколько минут охранник сможет обойти территорию лицея, если его скорость 4 км/ч?
5. Если некоторое число уменьшить на 30%, то получим 84. На сколько процентов надо увеличить это число, чтобы получить 144?
6. Для нумерации страниц энциклопедии по математике потребовалось 1989 цифр. Сколько страниц в энциклопедии?
7. Деревянный кубик размером $4\times4\times4$ покрасили красной краской. Затем его распилили на 64 одинаковых кубика со стороной 1. Сколько получилось маленьких кубиков, у которых красной краской покрашены ровно две стороны?
8. Через два крана бак наполнился водой за 8 минут. Если бы был открыт только первый кран, то бак наполнился бы водой за 12 минут. За сколько минут наполнился бы бак водой через один второй кран?
9. Найдите два числа, если их сумма равна 192, а наибольший общий делитель равен 24.
10. За контрольную работу 25% учащихся получили «5», 40% — «4», 8 человек — «3», остальные — «2». Средний балл оказался равным 3,75. Сколько учеников в классе?

Решения задач

1. Найдите значение выражения: \[ \bigl(5\tfrac{3}{4} - 6\tfrac{1}{7}\bigr)\;\cdot\;1\tfrac{3}{11}\;-\;2{,}25 : 1\tfrac{1}{2}. \] Решение: \[ \bigl(5\tfrac{3}{4} - 6\tfrac{1}{7}\bigr) = \frac{23}{4} - \frac{43}{7} = -\frac{11}{28} \] \[ 1\tfrac{3}{11} = \frac{14}{11},\quad 2{,}25 = \frac{9}{4},\quad 1\tfrac{1}{2} = \frac{3}{2} \] \[ -\frac{11}{28} \cdot \frac{14}{11} - \frac{9}{4} : \frac{3}{2} = -\frac{1}{2} - \frac{3}{2} = -2 \] Ответ: \(-2\).
   
   
2. Решите уравнение: \[ 4\cdot(0{,}7x - 4) - 4{,}25 = 3\cdot(-0{,}2x + 6) + 4{,}25. \] Решение: \[ 2{,}8x - 16 - 4{,}25 = -0{,}6x + 18 + 4{,}25 \] \[ 2{,}8x - 20{,}25 = -0{,}6x + 22{,}25 \] \[ 3{,}4x = 42{,}5 \quad \Rightarrow \quad x = 12{,}5 \] Ответ: \(12{,}5\).
   
   
3. Какую цифру одновременно нужно поставить вместо каждой звёздочки, чтобы число делилось
   1. \(\;*387*\) на 5:
      Решение: Последняя цифра должна быть 0 или 5. Первая цифра (звёздочка) — любая цифра от 1 до 9. Если требуется одинаковые цифры, то ответ: последняя цифра 5, первая 5.
      Ответ: 5.
      
      
   2. \(\;5**04\) на 36:
      Решение: Число должно делиться на 4 и 9. Сумма цифр: \(5 + x + y + 0 + 4 = 9 + (x + y)\) должна делиться на 9. \(x + y = 9\) или \(18\). Последние две цифры 04 делятся на 4. Единственное решение для одинаковых звёздочек: \(x = y = 9\).
      Ответ: 9.
   
   
   
4. Территория лицея имеет форму прямоугольника, причём стороны прямоугольника относятся как 19:5 и ширина меньше длины на 700 м. За сколько минут охранник сможет обойти территорию лицея, если его скорость 4 км/ч?
   Решение: Разность сторон \(19k - 5k = 14k = 700\) м ⇒ \(k = 50\) м. Стороны: 950 м и 250 м. Периметр \(2 \cdot (950 + 250) = 2400\) м = 2,4 км. Время: \(\frac{2,4}{4} = 0,6\) ч = 36 минут.
   Ответ: 36 минут.
   
   
5. Если некоторое число уменьшить на 30%, то получим 84. На сколько процентов надо увеличить это число, чтобы получить 144?
   Решение: Исходное число: \(84 : 0,7 = 120\). Разница \(144 - 120 = 24\). На \(24/120 \cdot 100% = 20\%\).
   Ответ: 20%.
   
   
6. Для нумерации страниц энциклопедии по математике потребовалось 1989 цифр. Сколько страниц в энциклопедии?
   Решение: Цифры на страницы: 9 (1–9) + 180 (10–99) + \(1989 - 189 = 1800\). Трехзначные страницы: \(1800 : 3 = 600\). Всего: \(9 + 90 + 600 = 699\).
   Ответ: 699.
   
   
7. Деревянный кубик размером \(4\times4\times4\) покрасили красной краской. Затем его распилили на 64 одинаковых кубика со стороной 1. Сколько получилось маленьких кубиков, у которых красной краской покрашены ровно две стороны?
   Решение: Кубики с двумя окрашенными гранями находятся на рёбрах (не угловые). На каждом ребре \(4 - 2 = 2\) кубика. Всего ребер: 12. Итог: \(12 \cdot 2 = 24\).
   Ответ: 24.
   
   
8. Через два крана бак наполнился водой за 8 минут. Если бы был открыт только первый кран, то бак наполнился бы водой за 12 минут. За сколько минут наполнился бы бак водой через один второй кран?
   Решение: Совместная скорость: \(\frac{1}{8}\). Скорость первого крана: \(\frac{1}{12}\). Скорость второго: \(\frac{1}{8} - \frac{1}{12} = \frac{1}{24}\). Время: 24 минуты.
   Ответ: 24 минуты.
   
   
9. Найдите два числа, если их сумма равна 192, а наибольший общий делитель равен 24.
   Решение: \(192 : 24 = 8\). Числа: \(24 \cdot a\) и \(24 \cdot b\), где \(a + b = 8\) и взаимно простые. Возможные пары: \(1 + 7 = 8\) ⇒ \(24\) и \(168\), \(3 + 5 = 8\) ⇒ \(72\) и \(120\).
   Ответ: 24 и 168 или 72 и 120.
   
   
10. За контрольную работу 25% учащихся получили «5», 40% — «4», 8 человек — «3», остальные — «2». Средний балл оказался равным 3,75. Сколько учеников в классе?
    Решение: Пусть учеников \(x\). \[ 0{,}25x \cdot 5 + 0{,}4x \cdot 4 + 8 \cdot 3 + (x - 0{,}25x - 0{,}4x - 8) \cdot 2 = 3{,}75x \] \[ 3{,}55x + 8 = 3{,}75x \quad \Rightarrow \quad x = 40 \] Ответ: 40 учеников.