Лицей №1580 из 6 в 7 класс 2020 год

1. Найдите значение выражения: \[ \bigl(-2{,}5 + 2\tfrac{1}{3}\bigr)\;\cdot\;\tfrac{5}{7}\;-\;4\tfrac{1}{5} : (-0{,}7). \]
2. Решите уравнение: \[ 3\cdot(0{,}9x - 6) - 1{,}15 = 2\cdot(-0{,}1x + 4) + 1{,}35. \]
3. Какую цифру одновременно нужно поставить вместо каждой звёздочки, чтобы число делилось
   1. \(\;*867*\) на 3:;
   2. \(\;1*35*\) на 18:.
4. Фруктовый сад имеет форму прямоугольника, длина больше ширины на 250 м, и длина относится к ширине как 13:6. За сколько минут сторож обойдёт фруктовый сад, идя со скоростью 4 км/ч?
5. Если некоторое число увеличить на 45%, то получим 232. На сколько процентов надо уменьшить это число, чтобы получить 136?
6. Для нумерации страниц в толковом словаре потребовалось 2016 цифр. Сколько страниц в толковом словаре?
7. Деревянный кубик размером $5\times5\times5$ покрасили зелёной краской. Затем его распилили на 125 одинаковых кубиков со стороной 1. Сколько получилось маленьких кубиков, у которых зелёной краской не покрашена ни одна сторона?
8. Артель из 8 лесорубов за 4,8 часа заготавливает 12 м$^{3}$ древесины. Сколько древесины смогут заготовить 12 лесорубов за 3,6 часа?
9. Найдите два числа, если их сумма равна 336, а наибольший общий делитель равен 28.
10. В детском оздоровительном лагере четыре отряда решили посадить сад. Первый отряд посадил половину всех деревьев, второй — $\tfrac{1}{3}$ того, что посадили другие отряды вместе. Третий отряд посадил $\tfrac{1}{4}$ того, что посадили остальные, а четвёртый — 5 деревьев. Сколько всего деревьев посадили ребята в саду?

Решения задач

1. Найдите значение выражения: \[ \bigl(-2{,}5 + 2\tfrac{1}{3}\bigr)\;\cdot\;\tfrac{5}{7}\;-\;4\tfrac{1}{5} : (-0{,}7). \]
   Решение:
   $-2{,}5 + 2\tfrac{1}{3} = -\frac{5}{2} + \frac{7}{3} = -\frac{15}{6} + \frac{14}{6} = -\frac{1}{6}$
   $-\frac{1}{6} \cdot \frac{5}{7} = -\frac{5}{42}$
   $4\tfrac{1}{5} : (-0{,}7) = \frac{21}{5} \cdot \left(-\frac{10}{7}\right) = -6$
   $-\frac{5}{42} - (-6) = -\frac{5}{42} + 6 = \frac{247}{42} = 5\frac{37}{42}$
   Ответ: $\frac{247}{42}$.
   
   
2. Решите уравнение: \[ 3\cdot(0{,}9x - 6) - 1{,}15 = 2\cdot(-0{,}1x + 4) + 1{,}35. \]
   Решение:
   $2{,}7x - 18 - 1{,}15 = -0{,}2x + 8 + 1{,}35$
   $2{,}7x - 19{,}15 = -0{,}2x + 9{,}35$
   $2{,}9x = 28{,}5$
   $x = \frac{285}{29} \approx 9{,}83$
   Ответ: $\frac{285}{29}$.
   
   
3. Какую цифру одновременно нужно поставить вместо каждой звёздочки:
   1. $\;*867*$ на 3: сумма цифр делится на 3.
      Ответ: первая цифра 3, последняя 0 (38670).
      
      
   2. $\;1*35*$ на 18: сумма цифр делится на 9 и последняя чётная.
      Ответ: первая цифра 1, последняя 8 (11358).
   
   
   
4. Фруктовый сад имеет форму прямоугольника. Длина относится к ширине как 13:6, разница 250 м.
   Решение: Разница частей: $13 - 6 = 7$ частей $\rightarrow 250$ м ⇒ 1 часть $35{,}714$ м.
   Периметр: $2 \cdot (13 \cdot 35{,}714 + 6 \cdot 35{,}714) \approx 1357{,}14$ м.
   Время: $\frac{1{,}357}{4} \cdot 60 \approx 20{,}36$ минут.
   Ответ: 20 минут.
   
   
5. Некоторые число увеличили на 45% ⇒ 232. Найти процент уменьшения до 136.
   Решение: Исходное число: $232 / 1{,}45 = 160$
   Уменьшение: $(160 - 136)/160 \cdot 100% = 15\%$
   Ответ: 15%.
   
   
6. Нумерация страниц потребовала 2016 цифр.
   Решение: 9 (1-9) + 180 (10-99) + 1827 трёхзначных: $1827 / 3 = 609$ ⇒ 708 страниц.
   Ответ: 708.
   
   
7. Кубик $5\times5\times5$ распилили ⇒ неокрашенные кубики внутри $3\times3\times3 = 27$.
   Ответ: 27.
   
   
8. Артель лесорубов:
   Производительность: $12 / (8 \cdot 4{,}8) = 0{,}3125$ м³/(чел·ч)
   Новый объём: $0{,}3125 \cdot 12 \cdot 3{,}6 = 13{,}5$ м³
   Ответ: 13,5 м³.
   
   
9. Два числа с НОД 28 и суммой 336.
   Ответ: 28 и 308.
   
   
10. Посадка деревьев четыремя отрядами:
    Пусть общее количество $x$.
    1-й: $x/2$, 2-й: $x/4$, 3-й: $x/5$, 4-й: $x/20 = 5$ ⇒ $x = 100$
    Ответ: 100 деревьев.