Лицей №1580 из 6 в 7 класс 2020 год

1. Найдите значение выражения: \[ \bigl(1{,}25 - 1\tfrac{1}{3}\bigr)\;\cdot\;\tfrac{5}{7} \;-\; 3\tfrac{1}{5} : (-0{,}8) \]
2. Решите уравнение: \[ 2 \cdot (0{,}3x - 5) - 2{,}25 = 2 \cdot (-0{,}4x + 2) + 2{,}45. \]
3. Какую цифру одновременно нужно поставить вместо каждой звёздочки, чтобы число делилось:
   1. \(\;*540*\) на 9:;
   2. \(\;*431*\) на 12:.
4. Детский оздоровительный лагерь «Солнышко» имеет форму прямоугольника, его ширина меньше длины на 350 м, а длина относится к ширине как 20 : 7. За сколько минут сторож может обойти вдоль забора лагерь, если его скорость 6 км/ч?
5. Если некоторое число уменьшить на 35%, то получится 91. На сколько процентов надо увеличить это число, чтобы получить 189?
6. Для нумерации страниц в книге «Занимательная математика» потребовалось 1428 цифр. Сколько страниц в книге?
7. Деревянный кубик размером $5\times5\times5$ покрасили зелёной краской. Затем его распилили на 125 одинаковых кубиков со стороной равной 1. Сколько получилось маленьких кубиков, у которых зелёной краской покрашены ровно две стороны?
8. Через два крана бак наполнился водой за 9 минут. Если бы был открыт только первый кран, то бак наполнился бы водой за 36 минут. За сколько минут наполнился бы бак водой через один второй кран?
9. Найдите два числа, если их сумма равна 352, а наибольший общий делитель равен 44.
10. За выступление группы гимнастов 30% судей поставили по 5 баллов, 40% судей — по 4 балла, двое судей — по 3 балла, остальные — по 2 балла. Сколько было судей, если средний балл за выступление оказался равен 3,9?

Решения задач

1. Найдите значение выражения: \[ \bigl(1{,}25 - 1\tfrac{1}{3}\bigr)\;\cdot\;\tfrac{5}{7} \;-\; 3\tfrac{1}{5} : (-0{,}8) \]
   Решение: \[ \bigl(\frac{5}{4} - \frac{4}{3}\bigr) \cdot \frac{5}{7} - \frac{16}{5} : \left(-\frac{4}{5}\right) = \bigl(-\frac{1}{12}\bigr) \cdot \frac{5}{7} - \bigl(-4\bigr) = -\frac{5}{84} + 4 = \frac{331}{84} = 3\frac{67}{84}. \]
   Ответ: \(3\frac{67}{84}\).
2. Решите уравнение: \[ 2 \cdot (0{,}3x - 5) - 2{,}25 = 2 \cdot (-0{,}4x + 2) + 2{,}45. \]
   Решение: \begin{gather} 0{,}6x - 10 - 2{,}25 = -0{,}8x + 4 + 2{,}45 \\ 0{,}6x - 12{,}25 = -0{,}8x + 6{,}45 \\ 1{,}4x = 18{,}7 \\ x = \frac{187}{14} = 13\frac{5}{14} \end{gather}
   Ответ: \(13\frac{5}{14}\).
3. Решите задачу о подстановке цифр:
   1. \(\;*540*\) на 9:
      Решение: Сумма цифр \(* + 5 + 4 + 0 + * = * +* + 9\) должна делиться на 9. Значения звёзд: сумма звёзд должна равняться 9 или 18, но цифры не могут превышать 9. Поэтому подходят пары \((1, 8), (2, 7), (3, 6), (4, 5), (5, 4), (6, 3), (7, 2), (8, 1), (9, 0)\). Первая звёзда (*) не может быть 0. Например, 95400.
      Ответ: например, 9 и 0.
   2. \(\;*431*\) на 12:
      Решение: Число делится на 3 и 4. Последние две цифры (*) должны образовывать число, кратное 4. Для делимости на 4: последние две цифры 1 и *, возможны только 12 или 16 ⇒ * последняя цифра 2 или 6. Для делимости на 3: сумма звёзд \(+4 + 3 + 1 +*\) должна делиться на 3. Для \(*=2\) сумма первых звёзд + 8 делится на 3 ⇒ подходят \(* = 2, 5, 8\). Для \(*=6\) сумма звёзд + 14 делится на 3 ⇒ подходят \(* = 1, 4, 7\).
      Ответ: например, 8 и 2 или 7 и 6.
4. Детский лагерь имеет форму прямоугольника. Ширина меньше длины на 350 м, отношение длины к ширине 20:7. За какое время сторож обойдёт забор со скоростью 6 км/ч?
   Решение: Длина \(20x\), ширина \(7x\). Разность: \(20x - 7x = 350 \implies x = 50/13\) км. Периметр: \(2 \cdot (20x +7x) =54x = 54 \cdot 350 /13 ≈1453{,}85\) м. Время: \(1453{,}85/6000 \cdot 60 ≈14{,}54\) минут.
   Ответ: ≈14,5 мин.
5. Число уменьшили на 35% до 91. Найти процент увеличения числа до 189:
   Решение: Исходное число \(x\): \(0{,}65x =91 \implies x =140\). Увеличение до 189: \((189 -140)/140 \cdot100\%=35\%\).
   Ответ: на 35%.
6. Определите количество страниц в книге, если потребовалось 1428 цифр:
   Решение: Страницы 1-9:9, 10-99:180 цифр, трёхзначные:1428-9-180=1239 ⇒1239/3=413. Итого:9+90+413=512.
   Ответ: 512.
7. Найдите количество кубиков с двумя окрашенными гранями:
   Решение: Чисто рёберные кубики:12 рёбер ×3 кубика=36.
   Ответ: 36.
8. Время наполнения второго крана:
   Решение: Совместная скорость:1/9 бака/мин. Первый кран:1/36. Следовательно, скорость второго:1/9 –1/36=1/12.
   Ответ: 12 минут.
9. Два числа с суммой 352 и НОД 44:
   Решение: \(a + b =352/44=8\). Взаимно простые пары:44×1=44 и44×7=308;44×3=132 и44×5=220.
   Ответ: 44 и 308 или 132 и 220.
10. Количество судей при среднем балле 3,9:
    Решение: Обозначим число судей \(N\): \(3{,}9N =1{,}5N +1{,}6N +6 +0{,}6N –4\). Решение: \(N=10\).
    Ответ: 10.