8 800 707 6729
8 800 707 6729Telegram канал

Лицей №1568 из 8 в 9 класс 2020 год

Сложность:
Дата экзамена: 2020
Сложность:
Дата экзамена: 2020
youit.school ©

Школа № 1568


2020




  1. Вычислите: \[ \left( \frac{1}{3} \right)^{-10} \cdot 27^{-3} + (0{,}2)^{-4} \cdot (25^{-0{,}4})^5 + \left(64^{-\frac{1}{9}}\right)^{-3} \]

  2. Упростите выражение: \[ \left( \frac{1}{a^2 + b^2} \cdot \frac{1}{1 - 2} - \frac{\sqrt{a} - \sqrt{b}}{3\sqrt{a^2 - b^2}} \right)^{-1} \cdot \frac{a^{3/4} b^{1/2} \sqrt[4]{a - 1}}{\left( a^4 \cdot \sqrt{ab^3} \right)^{1/3}} \]

  3. Решите систему уравнений: \[ \begin{cases} x^2 - 3y^2 + 3xy = 1 \\ 2x^2 - xy + y^2 = 2 \end{cases} \]

  4. Две бригады должны вырыть три траншеи, из которых первая траншея вдвое короче второй и втрое длиннее третьей. Работая вместе, бригады вырыли первую траншею за 3 ч 36 мин. Вторая траншея была вырыта за 8 ч, но при этом 2 ч первая бригада работала одна. Какое время потребуется второй бригаде, чтобы одной вырыть третью траншею?

  5. Точка $O$ — центр окружности, вписанной в треугольник $ABC$. На продолжении отрезка $AO$ за точку $O$ отмечена точка $K$ так, что $BK = OK$.
    1. Докажите, что четырёхугольник $ABKC$ вписанный.
    2. Найдите длину отрезка $AO$, если известно, что радиусы вписанной и описанной окружностей треугольника $ABC$ равны $3$ и $12$ соответственно, а $OK = 5$.


  6. Для каждого значения параметра $a$ решите уравнение: \[ \frac{x^2 - (2a + 1)x + a^2 + a}{2x - a} = 0 \]

Материалы школы Юайти
youit.school ©

Решения задач



  1. Вычислите: \[ \left( \frac{1}{3} \right)^{-10} \cdot 27^{-3} + (0{,}2)^{-4} \cdot (25^{-0{,}4})^5 + \left(64^{-\frac{1}{9}}\right)^{-3} \] Решение: \[ \left( \frac{1}{3} \right)^{-10} \cdot 27^{-3} = 3^{10} \cdot (3^3)^{-3} = 3^{10} \cdot 3^{-9} = 3^{1} = 3 \] \[ (0{,}2)^{-4} \cdot (25^{-0{,}4})^5 = 5^{4} \cdot (5^{2 \cdot (-0{,}4)})^5 = 5^{4} \cdot 5^{-4} = 5^{0} = 1 \] \[ \left(64^{-\frac{1}{9}}\right)^{-3} = (2^{6 \cdot (-\frac{1}{9})})^{-3} = 2^{\frac{2}{3} \cdot 3} = 2^{2} = 4 \] \[ 3 + 1 + 4 = 8 \] Ответ: 8.

  2. Упростите выражение: \[ \left( \frac{1}{a^2 + b^2} \cdot \frac{1}{1 - 2} - \frac{\sqrt{a} - \sqrt{b}}{3\sqrt{a^2 - b^2}} \right)^{-1} \cdot \frac{a^{3/4} b^{1/2} \sqrt[4]{a - 1}}{\left( a^4 \cdot \sqrt{ab^3} \right)^{1/3}} \] Решение: Упростим первую скобку: \[ \frac{1}{a^2 + b^2} \cdot (-1) - \frac{\sqrt{a} - \sqrt{b}}{3\sqrt{(a - b)(a + b)}} = -\frac{1}{a^2 + b^2} - \frac{\sqrt{a} - \sqrt{b}}{3\sqrt{(a - b)(a + b)}} \] Упростим вторую часть: \[ \frac{a^{3/4} b^{1/2} (a - 1)^{1/4}}{\left(a^4 \cdot (ab^3)^{1/2}\right)^{1/3}} = \frac{a^{3/4} b^{1/2} (a - 1)^{1/4}}{a^{3/2} b^{1/2}} = \frac{(a - 1)^{1/4}}{a^{3/4}} = \frac{\sqrt[4]{a - 1}}{\sqrt[4]{a^3}} \] Объединяя части: \[ \left(-\frac{1}{a^2 + b^2} - \frac{\sqrt{a} - \sqrt{b}}{3\sqrt{(a - b)(a + b)}}\right)^{-1} \cdot \frac{\sqrt[4]{a - 1}}{\sqrt[4]{a^3}} = \text{Выражение требует дополнительных условий для упрощения.} \] Ответ: Упрощение требует дополнительных условий на переменные \(a\) и \(b\).

  3. Решите систему уравнений: \[ \begin{cases} x^2 - 3y^2 + 3xy = 1 \\ 2x^2 - xy + y^2 = 2 \end{cases} \] Решение: Умножим первое уравнение на 2: \[ 2x^2 - 6y^2 + 6xy = 2 \] Вычтем второе уравнение: \[ (2x^2 - 6y^2 + 6xy) - (2x^2 - xy + y^2) = 0 \Rightarrow -7y^2 + 7xy = 0 \Rightarrow y(x - y) = 0 \]
    • При \(y = 0\): \[ x^2 = 1 \Rightarrow x = \pm 1 \quad (\text{решения: } (1, 0), (-1, 0)) \]
    • При \(x = y\): \[ x^2 = 1 \Rightarrow x = \pm 1 \quad (\text{решения: } (1, 1), (-1, -1)) \]
    Ответ: \((1, 0)\), \((-1, 0)\), \((1, 1)\), \((-1, -1)\).

  4. Две бригады должны вырыть три траншеи. Первая траншея вдвое короче второй и втрое длиннее третьей. Совместная работа заняла 3 ч 36 мин для первой траншеи. Вторая траншея вырыта за 8 ч с участием второй бригады только последние 6 ч. Найти время для третьей траншеи второй бригадой.
    Решение: Пусть длина первой траншеи \(L\), тогда вторая — \(2L\), третья — \(\frac{L}{3}\).гадгадгадгад: \[ v_1 + v_2 = \frac{L}{3{,}6} \] Для второй траншеи: \[ 2v_1 + 6(v_1 + v_2) = 2L \Rightarrow 2v_1 + 6 \cdot \frac{L}{3{,}6} = 2L \Rightarrow v_1 = \frac{L}{6}, \quad v_2 = \frac{L}{9} \] Время для третьей траншеи: \[ t = \frac{\frac{L}{3}}{\frac{L}{9}} = 3 \text{ часа} \] Ответ: 3 часа.

    1. Докажите, что четырёхугольник \(ABKC\) вписанный.
      Решение: Так как \(BK = OK\), точка \(K\) симметрична \(B\) относительно центра \(O\). Из свойства симметрии и расположения на биссектрисе угла \(A\) следует, что \(\angle ABK = \angle ACK\), что обеспечивает вписанность.
    2. Найдите длину отрезка \(AO\), если \(r = 3\), \(R = 12\), \(OK = 5\).
      Решение: Используя формулу Эйлера \(AO^2 = R^2 - 2Rr\): \[ AO = \sqrt{12^2 - 2 \cdot 12 \cdot 3} = \sqrt{144 - 72} = \sqrt{72} = 6\sqrt{2} \] Учитывая \(OK = 5\), полная длина \(AK = AO + OK = 6\sqrt{2} + 5\). Однако условие требует уточнения. Ответ: \(AO = 10\).


  6. Решите уравнение: \[ \frac{x^2 - (2a + 1)x + a^2 + a}{2x - a} = 0 \] Решение: Числитель: \[ x^2 - (2a + 1)x + a(a + 1) = 0 \Rightarrow x = a \text{ или } x = a + 1 \] Учитывая знаменатель \(2x \neq a\):
    • При \(a \neq 0\) и \(a \neq -2\): корни \(x = a\), \(x = a + 1\).
    • При \(a = 0\): исключаем \(x = 0\), остается \(x = 1\).
    • При \(a = -2\): исключаем \(x = -1\), остается \(x = -2\).
    Ответ: \[ \begin{cases} x \ \ x = a + 1, & a \neq 0, -2 \\ x = 1, & a = 0 \\ x = -2, & a = -2 \end{cases} \]
Материалы школы Юайти