8 800 707 6729
8 800 707 6729Telegram канал

Лицей №1568 из 7 в 8 класс 2020 год

Сложность:
Дата экзамена: 2020
Сложность:
Дата экзамена: 2020
youit.school ©

Школа № 1568


2020




  1. Упростите выражение \[ \left( \frac{x^3 - 125}{x^2 - 25} - \frac{5x}{x + 5} \right) : \left( 1 - \frac{10}{x + 5} \right) \] и найдите его значение при \[ x = (2 - \sqrt{3})^2 + \sqrt{48} - 12. \]

  2. Решите уравнение \[ (x^2 - 3x)^2 - 14x^2 + 42x + 40 = 0. \] Какие из корней этого уравнения удовлетворяют неравенству \[ \lVert 2x - 1 \rVert - 2 \leq 1? \]

  3. Из двух пунктов, расстояние между которыми равно 40 км, выехали навстречу друг другу мотоциклист и автомобилист. Автомобилист выехал на 30 мин позже мотоциклиста. Встретились они на середине пути. Скорость мотоциклиста на 10 км/ч меньше скорости автомобилиста. Найдите скорость каждого.

    1. Постройте график функции \[ y = \begin{cases} x^2 - 2x + 1, & x \geq -1 \\ -x, & x < -1 \end{cases} \]
    2. Укажите область определения и множество значений функции.

    3. Определите, при каких значениях $k$ прямая $y = k$ имеет с графиком этой функции только одну общую точку.


  5. В треугольнике $MRK$ на стороне $MK$ отмечена точка $A$ так, что $AK = 1$, $MA = AP = \sqrt{3} - 2$. Найдите $\angle MRK$.

  6. Расстояние от центра вписанной в прямоугольную трапецию окружности до боковой стороны равно 3 см. Высоты боковой стороны равны 6 см и 8 см. Найдите площадь.
Материалы школы Юайти
youit.school ©

Решения задач



  1. Упростите выражение \[ \left( \frac{x^3 - 125}{x^2 - 25} - \frac{5x}{x + 5} \right) : \left( 1 - \frac{10}{x + 5} \right) \] и найдите его значение при \[ x = (2 - \sqrt{3})^2 + \sqrt{48} - 12. \]
    Решение: Упростим выражение по частям: \[ \frac{x^3 - 125}{x^2 - 25} = \frac{(x - 5)(x^2 + 5x + 25)}{(x - 5)(x + 5)} = \frac{x^2 + 5x + 25}{x + 5} \] \[ \frac{x^2 + 5x + 25}{x + 5} - \frac{5x}{x + 5} = \frac{x^2 + 25}{x + 5} \] \[ 1 - \frac{10}{x + 5} = \frac{x - 5}{x + 5} \] \[ \frac{x^2 + 25}{x + 5} : \frac{x - 5}{x + 5} = \frac{x^2 + 25}{x - 5} \] Вычислим значение \( x \): \[ x = (2 - \sqrt{3})^2 + \sqrt{48} - 12 = 4 - 4\sqrt{3} + 3 + 4\sqrt{3} - 12 = -5 \] Подставляем \( x = -5 \): \[ \frac{(-5)^2 + 25}{-5 - 5} = \frac{50}{-10} = -5 \] Ответ: \(-5\).

  2. Решите уравнение \[ (x^2 - 3x)^2 - 14x^2 + 42x + 40 = 0. \] Какие из корней этого уравнения удовлетворяют неравенству \[ \lVert 2x - 1 \rVert - 2 \leq 1? \]
    Решение: Замена \( y = x^2 - 3x \): \[ y^2 - 14y + 40 = 0 \Rightarrow y = 10 \text{ или } y = 4 \]
    • Для \( y = 10 \): \[ x^2 - 3x - 10 = 0 \Rightarrow x = 5, \ x = -2 \]
    • Для \( y = 4 \): \[ x^2 - 3x - 4 = 0 \Rightarrow x = 4, \ x = -1 \]
    Проверка неравенства \( | |2x - 1| - 2 | \leq 1 \):
    • \( x = 5 \): \( | |9| - 2 | = 7 > 1 \) — не подходит
    • \( x = -2 \): \( | | -5 | - 2 | = 3 > 1 \) — не подходит
    • \( x = 4 \): \( | |7| - 2 | = 5 > 1 \) — не подходит
    • \( x = -1 \): \( | | -3 | - 2 | = 1 \leq 1 \) — подходит
    Ответ: \( x = -1 \).

  3. Из двух пунктов, расстояние между которыми равно 40 км, выехали навстречу друг другу мотоциклист и автомобилист. Автомобилист выехал на 30 мин позже мотоциклиста. Встретились они на середине пути. Скорость мотоциклиста на 10 км/ч меньше скорости автомобилиста. Найдите скорость каждого.
    Решение: Пусть скорость мотоциклиста \( v \) км/ч, автомобилиста \( v + 10 \) км/ч. Время до встречи: \[ \frac{20}{v} = \frac{20}{v + 10} + 0,5 \] Умножаем на \( v(v + 10) \): \[ 20(v + 10) = 20v + 0,5v(v + 10) \] \[ 0,5v^2 + 5v - 200 = 0 \Rightarrow v^2 + 10v - 400 = 0 \] \[ D = 1700 \Rightarrow v = \frac{-10 + 10\sqrt{17}}{2} = 5(\sqrt{17} - 1) \] Скорость автомобилиста: \[ v + 10 = 5(\sqrt{17} + 1) \] Ответ: \( 5(\sqrt{17} - 1) \) км/ч и \( 5(\sqrt{17} + 1) \) км/ч.

    1. Постройте график функции \[ y = \begin{cases} x^2 - 2x + 1, & x \geq -1 \\ -x, & x < -1 \end{cases} \] Решение: График состоит из параболы \( y = (x - 1)^2 \) при \( x \geq -1 \) и прямой \( y = -x \) при \( x < -1 \).

    2. Область определения: \( \mathbb{R} \). Множество значений: \( y \geq 0 \).

    3. Прямая \( y = k \) имеет одну общую точку при:
      • \( k = 0 \) (касание вершины параболы)
      • \( k > 1 \) (пересечение только с прямой частью)
      Ответ: \( k = 0 \) или \( k > 1 \).


  5. В треугольнике \( MRK \) на стороне \( MK \) отмечена точка \( A \) так, что \( AK = 1 \), \( MA = AP = \sqrt{3} - 2 \). Найдите \( \angle MRK \).
    Решение: Условие содержит опечатку. Для решения задачи требуется дополнительная информация о расположении точек.

  6. Расстояние от центра вписанной в прямоугольную трапецию окружности до боковой стороны равно 3 см. Высоты боковой стороны равны 6 см и 8 см. Найдите площадь.
    Решение: Радиус вписанной окружности \( r = 3 \) см. Высота трапеции \( h = 2r = 6 \) см. Сумма оснований: \[ a + b = 6 + 8 = 14 \text{ см} \] Площадь: \[ S = \frac{a + b}{2} \cdot h = \frac{14}{2} \cdot 6 = 42 \text{ см}^2 \] Ответ: 42 см².
Материалы школы Юайти