Лицей №1568 из 4 в 5 класс 2023 год (вариант 3)

Школа № 1568

2023

22.05.2023

1. Найдите значение выражения: \[ 42\,546 : 21 \cdot 24 + 833 \cdot 31 - 62\,674. \]
   
   
2. Решите уравнение: \[ 321 + 7 \cdot (1\,785 - 1\,560 : x) = 12\,606. \]
   
   
3. Найдите пятизначное число, каждая последующая цифра которого на единицу больше предыдущей, а сумма его цифр равна 35.
   
   
4. Каждую сторону квадрата с площадью \( 36\ \text{кв. дм} \) увеличили на 2 дм. На сколько сантиметров изменился периметр квадрата?
   
   
5. В бочке 150 л воды, а в 5 баках столько литров воды, сколько в 7 бочках. Есть 4 бака и 6 бочек. Сколько в них всего запасено литров воды?
   
   
6. На прямой линии отметили 4 точки. Сколько всего получилось отрезков, концами которых являются какие-то две из данных точек?
   
   
7. Сколько дней было в году, если в феврале этого года было 2\,505\,600 секунд?
   
   
8. На первом поле играло 13 футболистов, а на втором — 15. Сколько футболистов должно перейти с первого поля на второе, чтобы на втором поле стало на 10 футболистов больше, чем на первом?
   
   
9. У хозяйки есть 2 чашки, 3 блюдца, и один кувшин, который весит столько, сколько одна чашка и одно блюдце. Сколько блюдец уравновесят один кувшин?
   
   
10. Длина круговой дорожки для бега равна 400 м. За 6 минут 40 секунд Аня пробежала 4 круга, а Нина — 5 кругов. На сколько метров в секунду скорость Нины больше скорости Ани?
    
    
11. Из 22 спичек длиной 4 см сложили прямоугольник наибольшей площади (спички ломать нельзя). Чему равна эта площадь?
    
    
12. Частное двух чисел в 12 раз меньше делимого и в 3 раза меньше делителя. Найдите сумму делимого и делителя.
    
    
13. Двум отрядам ребят поручено расчищать зимний каток длиной 32 м и шириной 20 м. В одном отряде 42 ребёнка, в другом — 38. Сколько квадратных метров придётся на одного ребёнка, если распределить работу поровну?
    
    
14. Из 34 листов бумаги некоторые разрезали на три части, после чего стало 78 листов. Сколько листов бумаги разрезали?
    
    
15. Дима встал на одну из ступенек лестницы и вдруг заметил, что выше него и ниже него ступеней поровну. Затем он поднялся на 7 ступеней вверх, а потом спустился на 15 ступеней вниз и оказался на восьмой ступеньке. Из скольких ступенек состоит лестница?

Решения задач

1. Найдите значение выражения: \[ 42\,546 : 21 \cdot 24 + 833 \cdot 31 - 62\,674. \] Решение: \[ 42\,546 : 21 = 2\,026; \quad 2\,026 \cdot 24 = 48\,624; \] \[ 833 \cdot 31 = 25\,823; \quad 48\,624 + 25\,823 = 74\,447; \] \[ 74\,447 - 62\,674 = 11\,773. \] Ответ: 11\,773.
   
   
2. Решите уравнение: \[ 321 + 7 \cdot (1\,785 - 1\,560 : x) = 12\,606. \] Решение: \[ 7 \cdot (1\,785 - 1\,560 : x) = 12\,606 - 321 = 12\,285; \] \[ 1\,785 - 1\,560 : x = 12\,285 : 7 = 1\,755; \] \[ 1\,560 : x = 1\,785 - 1\,755 = 30; \quad x = 1\,560 : 30 = 52. \] Ответ: 52.
   
   
3. Найдите пятизначное число, каждая последующая цифра которого на единицу больше предыдущей, а сумма его цифр равна 35.
   Решение: Пусть первая цифра $a$, тогда цифры: $a, a+1, a+2, a+3, a+4$. Сумма: \[ a + (a+1) + (a+2) + (a+3) + (a+4) = 5a + 10 = 35 \implies a = 5. \] Ответ: 56789.
   
   
4. Каждую сторону квадрата с площадью \( 36\ \text{кв. дм} \) увеличили на 2 дм. На сколько сантиметров изменился периметр квадрата?
   Решение: Сторона квадрата $\sqrt{36} = 6$ дм. Новый периметр: \[ (6 + 2) \cdot 4 = 32\ \text{дм}; \quad \text{Изначальный периметр: } 6 \cdot 4 = 24\ \text{дм}; \] Разница: $32 - 24 = 8$ дм = 80 см. Ответ: 80 см.
   
   
5. В бочке 150 л воды, а в 5 баках столько литров воды, сколько в 7 бочках. Есть 4 бака и 6 бочек. Сколько в них всего запасено литров воды?
   Решение: \[ 5\ \text{баков} = 7 \cdot 150 = 1\,050\ \text{л} \implies 1\ \text{бак} = 210\ \text{л}; \] \[ 4 \cdot 210 + 6 \cdot 150 = 840 + 900 = 1\,740\ \text{л}. \] Ответ: 1\,740 л.
   
   
6. На прямой линии отметили 4 точки. Сколько всего получилось отрезков, концами которых являются какие-то две из данных точек?
   Решение: Количество отрезков — число сочетаний из 4 по 2: \[ \binom{4}{2} = 6. \] Ответ: 6.
   
   
7. Сколько дней было в году, если в феврале этого года было 2\,505\,600 секунд?
   Решение: \[ 2\,505\,600\ \text{сек} = 2\,505\,600 : (24 \cdot 3\,600) = 29\ \text{дней}; \] Високосный год: 366 дней. Ответ: 366.
   
   
8. На первом поле играло 13 футболистов, а на втором — 15. Сколько футболистов должно перейти с первого поля на второе, чтобы на втором поле стало на 10 футболистов больше, чем на первом?
   Решение: Пусть $x$ футболистов перешло: \[ (15 + x) - (13 - x) = 10 \implies 2x + 2 = 10 \implies x = 4. \] Ответ: 4.
   
   
9. У хозяйки есть 2 чашки, 3 блюдца, и один кувшин, который весит столько, сколько одна чашка и одно блюдце. Сколько блюдец уравновесят один кувшин?
   Решение: Кувшин = 1 чашка + 1 блюдце. Из 2 чашек и 3 блюдец: \[ 1\ \text{кувшин} = 1\ \text{чашка} + 1\ \text{блюдце} \implies 2\ \text{блюдца}. \] Ответ: 2.
   
   
10. Длина круговой дорожки для бега равна 400 м. За 6 минут 40 секунд Аня пробежала 4 круга, а Нина — 5 кругов. На сколько метров в секунду скорость Нины больше скорости Ани?
    Решение: Время: 6 мин 40 сек = 400 сек. \[ V_{\text{Ани}} = \frac{4 \cdot 400}{400} = 4\ \text{м/с}; \quad V_{\text{Нины}} = \frac{5 \cdot 400}{400} = 5\ \text{м/с}; \] Разница: $5 - 4 = 1$ м/с. Ответ: 1.
    
    
11. Из 22 спичек длиной 4 см сложили прямоугольник наибольшей площади (спички ломать нельзя). Чему равна эта площадь?
    Решение: Периметр: $22 \cdot 4 = 88$ см. Стороны $a$ и $b$: \[ 2(a + b) = 88 \implies a + b = 44; \quad S = a \cdot b; \] Максимум при $a = 20$ см, $b = 24$ см: $20 \cdot 24 = 480$ см². Ответ: 480 см².
    
    
12. Частное двух чисел в 12 раз меньше делимого и в 3 раза меньше делителя. Найдите сумму делимого и делителя.
    Решение: Пусть частное $= x$, тогда: \[ \text{Делимое} = 12x; \quad \text{Делитель} = 3x; \quad 12x + 3x = 15x; \] Проверка: $12x : 3x = 4 = x \implies x = 4$. Сумма: $15 \cdot 4 = 60$. Ответ: 60.
    
    
13. Двум отрядам ребят поручено расчищать зимний каток длиной 32 м и шириной 20 м. В одном отряде 42 ребёнка, в другом — 38. Сколько квадратных метров придётся на одного ребёнка, если распределить работу поровну?
    Решение: Площадь катка: \[ 32 \cdot 20 = 640\ \text{м²}; \quad 42 + 38 = 80\ \text{детей}; \] \[ 640 : 80 = 8\ \text{м²/ребёнка}. \] Ответ: 8.
    
    
14. Из 34 листов бумаги некоторые разрезали на три части, после чего стало 78 листов. Сколько листов бумаги разрезали?
    Решение: Каждый разрезанный лист добавляет 2 новых: \[ 78 - 34 = 44\ \text{листа}; \quad 44 : 2 = 22\ \text{листа}. \] Ответ: 22.
    
    
15. Дима встал на одну из ступенек лестницы и вдруг заметил, что выше него и ниже него ступеней поровну. Затем он поднялся на 7 ступеней вверх, а потом спустился на 15 ступеней вниз и оказался на восьмой ступеньке. Из скольких ступенек состоит лестница?
    Решение: Пусть Дима стоял на ступеньке $k$, всего ступенек $N$: \[ N - k = k - 1 \implies N = 2k - 1; \] После перемещений: \[ k + 7 - 15 = 8 \implies k = 16; \quad N = 2 \cdot 16 - 1 = 31. \] Ответ: 31.