Лицей №1568 из 4 в 5 класс 2023 год (вариант 1)

Школа № 1568

2023

1. Площадь квадратной арки, в которой стоит Иван Иванович, четыре квадратных метра. Длина одной стороны этой арки равна росту Иван Ивановича в шляпе. Шляпа увеличивает рост Иван Ивановича на 16 см. Узнайте рост Иван Ивановича.
   
   
2. Из поврежденной книги выпала часть сшитых вместе листов. Номер первой выпавшей страницы — 143. Номер последней записан теми же цифрами, но в ином порядке. Сколько страниц выпало из книги?
   
   
3. Ваня и Петя спорили о своих марках. Ваня говорит Петру: «Отдай ты мне одну марку, тогда у меня будет ровно вдвое больше марок, чем у тебя». А Петя ему отвечает: «Лучше ты мне отдай одну марку, тогда у нас марок будет поровну». Сколько же марок было у каждого?
   
   
4. В деревне, где каждый житель или всегда говорит правду, или всегда обманывает, жили три брата — старший, средний и младший. Они получили в наследство кота, осла и мельницу. После этого каждый из братьев сделал два заявления: «Мельницу получил тот, кто старше меня» и «Тот, кто получил кота, младше меня». Кому какая часть наследства досталась, если известно, что каждый что-то получил? Ответ объясните.

Решения задач

1. Площадь квадратной арки, в которой стоит Иван Иванович, четыре квадратных метра. Длина одной стороны этой арки равна росту Иван Ивановича в шляпе. Шляпа увеличивает рост Иван Ивановича на 16 см. Узнайте рост Иван Ивановича.
   Решение: Площадь квадрата равна квадрату его стороны. Сторона арки:
   $\sqrt{4} = 2$ м = 200 см.
   Это рост Ивана Ивановича в шляпе. Без шляпы его рост:
   $200 - 16 = 184$ см.
   Ответ: 184 см.
   
   
2. Из поврежденной книги выпала часть сшитых вместе листов. Номер первой выпавшей страницы — 143. Номер последней записан теми же цифрами, но в ином порядке. Сколько страниц выпало из книги?
   Решение: Страницы в книге сшиты листами по 2 страницы (четная и нечетная). Первая выпавшая страница 143 (нечетная), значит последняя страница выпавшего блока должна быть четной. Из цифр 1,4,3 составляем возможные четные числа: 314, 134, 314. Проверяем:
   Если последняя страница 314 (четная), то количество страниц:
   $314 - 143 + 1 = 172$ страницы.
   Это соответствует $172 : 2 = 86$ листам — целое число. Другие варианты (341, 413, 431) дают нечетное количество страниц, что невозможно.
   Ответ: 172 страницы.
   
   
3. Ваня и Петя спорили о своих марках. Ваня говорит Петру: «Отдай ты мне одну марку, тогда у меня будет ровно вдвое больше марок, чем у тебя». А Петя ему отвечает: «Лучше ты мне отдай одну марку, тогда у нас марок будет поровну». Сколько же марок было у каждого?
   Решение: Пусть у Вани $x$ марок, у Пети $y$.
   Из первого условия:
   $x + 1 = 2(y - 1)$
   Из второго условия:
   $x - 1 = y + 1$
   Решаем систему:
   $\begin{cases} x + 1 = 2y - 2 \\ x - 1 = y + 1 \end{cases}$
   Выразим $x$ из второго уравнения: $x = y + 2$. Подставим в первое:
   $y + 2 + 1 = 2y - 2 \Rightarrow y = 5$
   Тогда $x = 5 + 2 = 7$.
   Ответ: у Вани 7 марок, у Пети 5 марок.
   
   
4. В деревне, где каждый житель или всегда говорит правду, или всегда обманывает, жили три брата — старший, средний и младший. Они получили в наследство кота, осла и мельницу. После этого каждый из братьев сделал два заявления: «Мельницу получил тот, кто старше меня» и «Тот, кто получил кота, младше меня». Кому какая часть наследства досталась, если известно, что каждый что-то получил? Ответ объясните.
   Решение:
   • Старший брат не может говорить правду: утверждение «Мельницу получил тот, кто старше меня» ложно (старше его нет). Значит, он лжец. Его второе утверждение тоже ложно: «Тот, кто получил кота, младше меня» → кот у него или старшего (но старше нет), значит кот у младшего или среднего.
   • Средний брат. Если он говорит правду: мельница у старшего, а кот у младшего. Тогда осёл достанется среднему. Это согласуется с его вторым утверждением: «Тот, кто получил кота, младше меня» (кот у младшего).
   • Младший брат. Его утверждения: «Мельницу получил тот, кто старше меня» (ложь, так как мельница у старшего) и «Тот, кто получил кота, младше меня» (ложь, кот у него самого). Значит, младший — лжец.
   Итог:
   Старший — мельница, средний — осёл, младший — кот.
   Ответ: Старший брат получил мельницу, средний — осла, младший — кота.