Лицей №1537 из 6 в 7 класс 2009 год

ЛИЦЕЙ №1537

2009 год

Примерный вариант

1. Вычислите $706 \cdot 548-706 \cdot 536+12 \cdot 294$.
2. Вычислите $1: 1 \frac{7}{8}+\frac{3}{7} \cdot 3 \frac{1}{2}-\frac{2}{3}: \frac{5}{6}$.
3. Преобразуйте в многочлен стандартного вида $$ 3(2-x)^{2}-\left(2 x^{2}+x-5\right)\left(x^{2}-2\right)+\left(x^{2}+4\right)\left(4-x^{2}\right) . $$
4. Вычислите значение выражения $5,6\left(-a+a^{2}\right)-2,8\left(a+2 a^{2}\right)$ при $a=-0,11$.
5. Решите уравнение $5(0,4 x-0,6)-0,3 x=1,7 x-3$
6. Разложите на множители выражение $x \cdot(6 x-2)+12 \cdot(-6 x+2)$.
7. Разложите на множители $(7 x-2)^{2}-(3 x+1)^{2}$.
8. Придумайте одно четырёхзначное число, которое делилось бы и на 5 и на $9 .$
9. Запишите одночлен $-2 \frac{10}{27} c^{12} d^{33}$ в виде куба другого одночлена.
10. Построив в одной системе координат графики функций $y=-4 x+3$ и $y=4$, найдите абсциссу точки пересечения указанных графиков.
11. Имеется два куска сплава олова и свинца. Первый, массой 3 кг, содержит $40 \%$ олова, а второй содержит $60 \%$ олова. Сколько килограммов второго сплава надо добавить к первому, чтобы получить сплав, содержащий $45 \%$ олова?
12. Велосипедист и пешеход одновременно отправились навстречу друг другу из пунктов $A$ и $B$ и встретились через 2 часа. Через 1 ч после встречи велосипедист прибыл в пункт $B$. Через сколько часов после встречи пешеход пришёл в пункт $A$ ?
13. Прямая $y=k x-1,5$ проходит через точку $A(-4 ; a)$. Чему равно наибольшее целое значение координаты $a$, если угловой коэффициент данной прямой положителен? (Ответ надо обосновать)
14. Имеются две банки вместимостью 5 л и 7 л. Как с помощью только этих банок и водопроводного крана налить в большую банку ровно 6 л воды?
15. Сформулируйте и, используя дополнительные построения, докажите признак равенства треугольников по медиане и двум углам, на которые медиана делит угол треугольника.

1. 12000
2. 37/30
3. $-3x^4-3x^3+12x^2-10x+18$
4. -8.4а=0.924
5. R
6. 45000
7. (4x-3)(10x-1)
8. $-4/3c^4d^{11}$
9. -
10. -0.25
11. 1
12. 4
13. -2
14. -
15. -

1. Вычислите $706 \cdot 548-706 \cdot 536+12 \cdot 294$.
   Решение:
   $706 \cdot 548 - 706 \cdot 536 + 12 \cdot 294 = $
   $706 (548 - 536) + 12 \cdot 294 = $
   $706 \cdot 12 + 12 \cdot 294 = 12 (706 + 294) = $
   $12 \cdot 1000 = 12000$
   Ответ: 12000.
2. Вычислите $1: 1 \frac{7}{8}+\frac{3}{7} \cdot 3 \frac{1}{2}-\frac{2}{3}: \frac{5}{6}$.
   Решение:
   $1 : 1\frac{7}{8} + \frac{3}{7} \cdot 3\frac{1}{2} - \frac{2}{3} : \frac{5}{6} = $
   $1 : \frac{15}{8} + \frac{3}{7} \cdot \frac{7}{2} - \frac{2}{3} \cdot \frac{6}{5} = \frac{8}{15} + \frac{3}{2} - \frac{4}{5} = $
   $\frac{16 + 45 - 24}{30} = \frac{37}{30} = 1\frac{7}{30}$
   Ответ: $1\frac{7}{30}$.
3. Преобразуйте в многочлен стандартного вида
   $ 3(2-x)^{2}-\left(2 x^{2}+x-5\right)\left(x^{2}-2\right)+\left(x^{2}+4\right)\left(4-x^{2}\right) . $
   Решение:
   $3(2-x)^2 - (2x^2 + x - 5)(x^2 - 2) + (x^2 + 4)(4 - x^2) = $
   $3(4 - 4x + x^2) - (2x^4 + x^3 - 5x^2 - 4x^2 - 2x + 10) + 16 - x^4 = $
   $12 - 12x + 3x^2 - 2x^4 - x^3 + 5x^2 + 4x^2 + 2x - 10 + 16 - x^4 = $
   $-3x^4 - x^3 + 12x^2 - 10x + 18$
   Ответ: $-3x^4 - x^3 + 12x^2 - 10x + 18$.
4. Вычислите значение выражения $5,6\left(-a+a^{2}\right)-2,8\left(a+2 a^{2}\right)$ при $a=-0,11$.
   Решение:
   $5,6(-a + a^2) - 2,8(a + 2a^2) = $ $-5,6a + 5,6a^2 - 2,8a - 5,6a^2 = $ $-5,6a - 2,8a = -8,4a = $ $-8,4 \cdot (-0,11) = 0,924$
   Ответ: 0,924.
5. Решите уравнение $5(0,4 x-0,6)-0,3 x=1,7 x-3$
   Решение:
   $5(0,4x - 0,6) - 0,3x = 1,7x - 3$
   $2x - 3 - 0,3x = 1,7x - 3$
   $1,7x - 3 = 1,7x - 3$
   $x \in R$
   Ответ: $R$.
6. Разложите на множители выражение $x \cdot(6 x-2)+12 \cdot(-6 x+2)$.
   Решение:
   $x(6x - 2) + 12(-6x + 2) = $
   $x(6x - 2) - 12(6x - 2) = (x - 12)(6x - 2) = $
   $2(x - 12)(3x - 1)$
   Ответ: $2(x - 12)(3x - 1)$.
7. Разложите на множители $(7 x-2)^{2}-(3 x+1)^{2}$.
   Решение:
   $(7x - 2)^2 - (3x + 1)^2 = (7x - 2 + 3x + 1)$
   $(7x - 2 - (3x + 1)) = (10x - 1)(4x - 3)$
   Ответ: $(10x - 1)(4x - 3)$.
8. Придумайте одно четырёхзначное число, которое делилось бы и на 5 и на $9 .$
   Решение:
   Чтобы число делилось на 5, его последняя цифра должна быть 5 или 0. Чтобы делилось на 9, сумма цифр должна делиться на 9. Таким образом, подойдет, например, число 2745:
   $2745 : 5 = 549$
   $2745 : 9 = 305$
   Ответ: 2745.
9. Запишите одночлен $-2 \frac{10}{27} c^{12} d^{33}$ в виде куба другого одночлена.
   Решение:
   $-2\frac{10}{27}c^{12}d^{33} = -\frac{64}{27} \cdot c^{12}d^{33} = -\frac{4^3}{3^3} \cdot c^{4 \cdot 3} \cdot d^{11 \cdot 3} = $ $(-\frac{4}{3}c^4d^{11})^3$
   Ответ: $(-\frac{4}{3}c^4d^{11})^3$.
10. -
    
    
11. Имеется два куска сплава олова и свинца. Первый, массой 3 кг, содержит $40 \%$ олова, а второй содержит $60 \%$ олова. Сколько килограммов второго сплава надо добавить к первому, чтобы получить сплав, содержащий $45 \%$ олова?
    Решение: Пусть масса добавленного 2-го сплава равна x. Тогда олова в этой добавке 0,6x кг. В самом же первом сплаве $3 \cdot 0,4 = 1,2$ кг олова. Общая масса нового сплава x + 3 кг, а олова в нем $1,2 + 0,6x$ кг. Тогда:
    $\frac{1,2 + 0,6x}{x + 3} \cdot 100$ % $= 45$ %
    $\frac{1,2 + 0,6x}{x + 3} = 0,45 = \frac{45}{100} = \frac{9}{20}$
    $20(1,2 + 0,6x) = 9(x + 3)$
    $24 + 12x = 9x + 27$
    $3x = 3$
    $x = 1$
    Ответ: 1 кг.
12. Велосипедист и пешеход одновременно отправились навстречу друг другу из пунктов $A$ и $B$ и встретились через 2 часа. Через 1 ч после встречи велосипедист прибыл в пункт $B$. Через сколько часов после встречи пешеход пришёл в пункт $A$ ?
    Решение:
    В момент встречи велосипедисту осталось проехать то, что за 2 часа прошел пешеход. Велосипедист проехал это расстояние за 1 час, значит он вдвое быстрее пешехода. Тогда пешеход пройдет то, что велосипедист проехал за 2 часа, за 2 $\cdot$ 2 = 4 часа.
    Ответ: 4 часа.
13. -
14. Имеются две банки вместимостью 5 л и 7 л. Как с помощью только этих банок и водопроводного крана налить в большую банку ровно 6 л воды?
    Решение: Наберем трижды по 7 литров в большую банку. Теперь там 21 литр воды. Далее трижды выльем по 5 литров из этой банки, тогда в ней останется 21 - 3 $\cdot$ 5 = 6 литров.
15. -