Лицей №1533 «ЛИТ» из 8 в 9 класс 2025 год вариант 1

Дорогие друзья!
Решение заданий запишите полностью
Вариант 20250901

1. Найдите значение выражения \[ \frac{135^2 - 135 \cdot 150 + 75^2}{135^2 - 15^2 + 45^2 - 105^2}. \]
2. Решите уравнение \[ 5x^2 - (10+\sqrt{7})x + 2\sqrt{7} = 0. \]
3. Из пункта А в пункт В, находящийся в 20 км от А, выехал автобус, а через 7 минут за ним выехал грузовой автомобиль, скорость которого на 20 км/ч больше скорости автобуса. Найдите скорости каждого участника движения, если грузовой автомобиль прибыл в пункт В на 3 минуты раньше автобуса.
4. Для проведения экзамена по математике в 9 классе случайным образом выбирается одна из 92 экзаменационных работ. Перед экзаменом Тимофей решил все работы с двадцать седьмой по сорок девятую.
   а) Какова вероятность, что будет выбрана работа № 78?
   б) Какова вероятность того, что на экзамене будет выбрана работа, которую Тимофей решил перед экзаменом?
5. Вычислите площадь трапеции, ограниченной осями координат, прямой $x=-4$ и прямой, которая проходит через точку $(-1;7)$ и параллельна прямой $y=3x$.
6. В прямоугольном треугольнике $ABC$ медиана $CM$ равна 8 и делит прямой угол в отношении 1:2. Найдите площадь треугольника $ABC$.
7. Два ино­пла­не­тя­ни­на вы­шли на рас­све­те. Каж­дый шёл с по­стоян­ной ско­ро­стью. Один при­шёл в $M$ в 4 часа, дру­гой — из $M$ в $B$ в 6 ча­сов. Они встре­ти­лись в пол­день (т. е. ров­но в 12 ча­сов дня), но не в $M$, и не в $B$, а в дру­гой точ­ке: один — в $M$ в 4 ча­са вече­ра, а дру­гой — в $B$ в 9 ча­сов вече­ра. В ко­то­ром ча­су в тот день был рас­свет ?

Решения задач

1. Найдите значение выражения \[ \frac{135^2 - 135 \cdot 150 + 75^2}{135^2 - 15^2 + 45^2 - 105^2}. \] Решение: Числитель: \(135^2 - 2 \cdot 135 \cdot 75 + 75^2 = (135 - 75)^2 = 60^2 = 3600\). Знаменатель: \((135^2 - 15^2) + (45^2 - 105^2) = (135 - 15)(135 + 15) + (45 - 105)(45 + 105) = 120 \cdot 150 + (-60) \cdot 150 = 18000 - 9000 = 9000\). Итог: \(\frac{3600}{9000} = \frac{2}{5}\).
   Ответ: \(\frac{2}{5}\).
2. Решите уравнение \[ 5x^2 - (10+\sqrt{7})x + 2\sqrt{7} = 0. \] Решение: Разложим на множители: \((5x - \sqrt{7})(x - 2) = 0\).
   Корни: \(x = \frac{\sqrt{7}}{5}\) и \(x = 2\).
   Ответ: \(\frac{\sqrt{7}}{5}\); \(2\).
3. Из пункта А в пункт В, находящийся в 20 км от А, выехал автобус, а через 7 минут за ним выехал грузовой автомобиль, скорость которого на 20 км/ч больше скорости автобуса. Найдите скорости каждого участника движения, если грузовой автомобиль прибыл в пункт В на 3 минуты раньше автобуса.
   Решение: Пусть скорость автобуса \(v\) км/ч. Тогда скорость грузовика \(v + 20\) км/ч. Время автобуса: \(\frac{20}{v}\) часов. Время грузовика: \(\frac{20}{v + 20}\) часов. Разница времени: \(\frac{20}{v} - \frac{20}{v + 20} = \frac{10}{60} = \frac{1}{6}\) часа. Решая уравнение, получаем \(v = 40\) км/ч (автобус), \(v + 20 = 60\) км/ч (грузовик).
   Ответ: 40 км/ч; 60 км/ч.
4. Для проведения экзамена по математике в 9 классе случайным образом выбирается одна из 92 экзаменационных работ. Перед экзаменом Тимофей решил все работы с двадцать седьмой по сорок девятую.
   а) Какова вероятность, что будет выбрана работа № 78?
   б) Какова вероятность того, что на экзамене будет выбрана работа, которую Тимофей решил перед экзаменом?
   Решение: а) Вероятность выбрать одну работу: \(\frac{1}{92}\). б) Решённые работы: с 27 по 49 включительно (23 работы). Вероятность: \(\frac{23}{92} = \frac{1}{4}\).
   Ответ: а) \(\frac{1}{92}\); б) \(\frac{1}{4}\).
5. Вычислите площадь трапеции, ограниченной осями координат, прямой \(x=-4\) и прямой, которая проходит через точку \((-1;7)\) и параллельна прямой \(y=3x\).
   Решение: Уравнение прямой: \(y = 3x + 10\). Точки пересечения с осями: \((0;10)\) и \((-\frac{10}{3};0)\). Площадь трапеции вычисляется как интеграл модуля функции от \(-4\) до \(0\): \[ \int_{-4}^{0} |3x + 10| \, dx = \frac{52}{3}. \]
   Ответ: \(\frac{52}{3}\).
6. В прямоугольном треугольнике \(ABC\) медиана \(CM\) равна 8 и делит прямой угол в отношении 1:2. Найдите площадь треугольника \(ABC\).
   Решение: Медиана делит угол \(C\) на \(30^\circ\) и \(60^\circ\). Катеты \(AC = 8\sqrt{3}\), \(BC = 8\). Площадь: \(\frac{1}{2} \cdot 8\sqrt{3} \cdot 8 = 32\sqrt{3}\).
   Ответ: \(32\sqrt{3}\).
7. Два инопланетянина вышли на рассвете. Каждый шёл с постоянной скоростью. Один пришёл в \(M\) в 4 часа, другой — из \(M\) в \(B\) в 6 часов. Они встретились в полдень, но не в \(M\) и не в \(B\). Один прибыл в \(M\) в 16:00, другой в \(B\) в 21:00. Найдите время рассвета.
   Решение: Пусть рассвет в \(T\) часов. Время движения до встречи: \(12 - T\) часов для первого, \(6\) часов для второго. Отношения скоростей и расстояний приводят к уравнению \(T = 6\) часов утра.
   Ответ: рассвет в 6 часов утра.