8 800 707 6729
8 800 707 6729Telegram канал

Лицей №1533 «ЛИТ» из 8 в 9 класс 2023 год вариант 1

Сложность:
Дата экзамена: 08.2023
Печать
youit.school ©

ЛИТ 1533


2023


25.08.2023



Вариант 20230901 Дорогие друзья!
Решение заданий запишите полностью.

  1. Найдите значение выражения: \[ \left( \frac{9 \cdot 3^3 + 4 \cdot 7^3}{14} - 47 \cdot 0{,}93 \right) \cdot \left( 24^2 - 22^2 \right) - 0{,}23 \]

  2. Упростите выражение:
    1. \[ \sqrt{3\left(2\sqrt{3} + 3\sqrt{75} - \sqrt{108}\right)} \]
    2. \[ \frac{(-2a^4 x^3)^3 (-9a^3 x)^2}{(-64 x^7)^3} \]


  3. Первая труба пропускает на 1 литр воды в минуту меньше, чем вторая. Сколько литров воды в минуту пропускает первая труба, если резервуар объёмом 110 литров она заполняет на 2 минуты дольше, чем вторая труба заполняет резервуар объёмом 99 литров?

  4. При каких значениях \(x\) имеет смысл выражение: \[ \sqrt{ \frac{x+3}{8} - \frac{2x - 1}{4} } - 4? \]

  5. Постройте график функции: \[ y = \left( \frac{2x}{x - 7} + \frac{7x}{x^2 - 14x + 49} \right) : \left( \frac{7x - 7}{x^2 - 49} - \frac{7(x - 1)}{x - 7} \right) \]

  6. В параллелограмме \(ABCT\) биссектриса острого угла \(A\) пересекает сторону \(CT\) в точке \(K\) и пересекает продолжение стороны \(BC\) в точке \(P\), при этом \(TK : KC = 2 : 5\).
    1. Докажите, что треугольники \(AVP\) и \(KTA\) подобны.
    2. Найдите сторону параллелограмма \(AT\), если периметр \(ABCT\) равен 81.


  7. Из точки \(C\) к окружности с центром \(O\) проведены касательная \(CB\) и секущая \(CA\), проходящая через центр. Отрезок \(CK\) является внешней частью секущей и равен 2 см. Отрезок \(CB\) равен 6 см. Найдите:
    1. Диаметр окружности.
    2. Площадь треугольника \(ABO\).


Материалы школы Юайти
youit.school ©

Решения задач



  1. Найдите значение выражения: \[ \left( \frac{9 \cdot 3^3 + 4 \cdot 7^3}{14} - 47 \cdot 0{,}93 \right) \cdot \left( 24^2 - 22^2 \right) - 0{,}23 \]
    Решение: \[ \frac{9 \cdot 27 + 4 \cdot 343}{14} = \frac{243 + 1372}{14} = \frac{1615}{14} = 115{,}357 \] \[ 47 \cdot 0{,}93 = 43{,}71 \quad (115{,}357 - 43{,}71 = 71{,}647) \] \[ 24^2 - 22^2 = (24 - 22)(24 + 22) = 2 \cdot 46 = 92 \] \[ 71{,}647 \cdot 92 \approx 6581{,}524 \quad (6581{,}524 - 0{,}23 = 6581{,}294) \]
    Ответ: \(6581{,}29\).

  2. Упростите выражение:
    1. \[ \sqrt{3\left(2\sqrt{3} + 3\sqrt{75} - \sqrt{108}\right)} \]
      Решение: \[ 3\sqrt{75} = 15\sqrt{3}, \quad \sqrt{108} = 6\sqrt{3} \] \[ \sqrt{3(2\sqrt{3} + 15\sqrt{3} - 6\sqrt{3})} = \sqrt{3 \cdot 11\sqrt{3}} = \sqrt{33\sqrt{3}} \]
      Ответ: \(\sqrt{33\sqrt{3}}\).
    2. \[ \frac{(-2a^4 x^3)^3 (-9a^3 x)^2}{(-64 x^7)^3} \]
      Решение: \[ \frac{(-8a^{12}x^9) \cdot 81a^6x^2}{-262144x^{21}} = \frac{-648a^{18}x^{11}}{-262144x^{21}} = \frac{81a^{18}}{32768x^{10}} \]
      Ответ: \(\frac{81a^{18}}{32768x^{10}}\).


  3. Первая труба пропускает на 1 литр воды в минуту меньше, чем вторая. Сколько литров воды в минуту пропускает первая труба, если резервуар объёмом 110 литров она заполняет на 2 минуты дольше, чем вторая труба заполняет резервуар объёмом 99 литров?
    Решение: Пусть \(x\) — скорость первой трубы (л/мин), тогда скорость второй \(x + 1\). \[ \frac{110}{x} - \frac{99}{x + 1} = 2 \] \[ 110(x + 1) - 99x = 2x(x + 1) \Rightarrow 11x + 110 = 2x^2 + 2x \] \[ 2x^2 - 9x - 110 = 0 \quad D = 81 + 880 = 961 \Rightarrow x = \frac{9 + 31}{4} = 10 \]
    Ответ: \(10\) литров/мин.

  4. При каких значениях \(x\) имеет смысл выражение: \[ \sqrt{ \frac{x+3}{8} - \frac{2x - 1}{4} } - 4? \]
    Решение: \[ \frac{x + 3}{8} - \frac{2x - 1}{4} \ge 0 \quad \bigg| \cdot 8: \] \[ x + 3 - 4x + 2 \ge 0 \Rightarrow -3x + 5 \ge 0 \Rightarrow x \le \frac{5}{3} \]
    Ответ: \(x \le \frac{5}{3}\).

  5. График функции после упрощения принимает вид: \[ y = -\frac{x(2x - 7)(x + 7)}{7(x - 7)(x - 1)(x + 6)} \] План построения:
    • Вертикальные асимптоты: \(x = 7, 1, -6\).
    • Горизонтальная асимптота: \(y = 0\).
    • Нули функции: \(x = 0, \frac{7}{2}, -7\).
    • Анализ знаков в интервалах.

    Ответ: график построен по указанным особенностям.

  6. В параллелограмме \(ABCT\):
    1. Треугольники \(AVP\) и \(KTA\) подобны по двум углам (биссектриса делит угол \(A\) пополам).
    2. Периметр \(ABCT = 81\): \[ 2(AB + BC) = 81 \Rightarrow AB + BC = 40{,5} \] \[ \frac{TK}{KC} = \frac{2}{5} \Rightarrow BC = \frac{7}{2} AT \Rightarrow AT = 12 \]
      Ответ: \(AT = 12\).


  7. Касательная и секущая:
    1. Теорема о касательной и секущей: \[ CB^2 = CK \cdot CA \Rightarrow 6^2 = 2 \cdot (2 + d) \Rightarrow d = 16 \text{ см}. \]
    2. Треугольник \(ABO\): \[ S = \frac{1}{2} \cdot OB \cdot CB = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 6 = 24 \text{ см}^2. \]
      Ответ: диаметр \(16\) см, площадь \(24\) см\(^2\).


Материалы школы Юайти