8 800 707 6729
8 800 707 6729Telegram канал

Лицей №1533 «ЛИТ» из 8 в 9 класс 2022 год вариант 1

Сложность:
Дата экзамена: 2022
Печать
youit.school ©

ЛИТ 1533


2022


25.08.2023



  1. Найдите значения выражений при заданных значениях переменных:
    1. \( \left(\frac{16y}{16 - y^2} + \frac{4y}{4 + y}\right) : \frac{4y}{4 - y} \), при \( y = -2{,}77 \)
    2. \( \frac{\sqrt{b}}{\sqrt{b + 5}} - \frac{5\sqrt{b}}{\sqrt{b - 25}} \), при \( b = \frac{25}{4} \)


  2. Решите уравнение: \[ \frac{x - 3}{x - 5} + \frac{1}{x} = \frac{x + 5}{x(x - 5)} \]

  3. При каких значениях переменной \( x \) имеет смысл выражение: \[ \sqrt{3(2 - 5x) + 10x + 9} \]

  4. Катер прошёл 27 км по течению и 42 км против течения. На путь по течению он затратил на 1 ч меньше, чем на путь против течения. Какова скорость катера против течения, если скорость течения — 3 км/ч?

  5. Постройте график функции: \[ y = -5x(x + 2) \] Определите абсциссы точек графика с неположительной ординатой.

  6. Диагонали ромба \( ABCD \) пересекаются в точке \( O \). \( BD = 16 \) см. На стороне \( AB \) взята точка \( K \) так, что \( OK \perp AB \) и \( OK = 4\sqrt{3} \). Найдите сторону ромба.

    Подсказка: для нахождения стороны ромба используйте подобие треугольников.
Материалы школы Юайти
youit.school ©

Решения задач



    1. Упростим выражение: \[ \left(\frac{16y}{16 - y^2} + \frac{4y}{4 + y}\right) : \frac{4y}{4 - y} = \frac{4y(8 - y)}{(4 - y)(4 + y)} \cdot \frac{4 - y}{4y} = \frac{8 - y}{4 + y} \] Подставляем \( y = -2{,}77 \): \[ \frac{8 - (-2{,}77)}{4 + (-2{,}77)} = \frac{10{,}77}{1{,}23} = 8{,}76 \] Ответ: \( 8{,}76 \).

    2. Подставим \( b = \frac{25}{4} \): \[ \sqrt{\frac{25}{4}} = \frac{5}{2}; \quad \sqrt{\frac{25}{4} + 5} = \frac{3\sqrt{5}}{2}; \quad \sqrt{\frac{25}{4} - 25} = \text{мнимая величина} \] Выражение \(\sqrt{\frac{25}{4} - 25}\) не имеет смысла в действительных числах. Ответ: выражение не определено.


  2. Решаем уравнение: \begin{align} \frac{x - 3}{x - 5} + \frac{1}{x} &= \frac{x + 5}{x(x - 5)} \\ \frac{x(x - 3) + (x - 5)}{x(x - 5)} &= \frac{x + 5}{x(x - 5)} \\ x^2 - 2x - 5 &= x + 5 \\ x^2 - 3x - 10 &= 0 \\ x &= \frac{3 \pm \sqrt{49}}{2} \Rightarrow x = -2 \quad (\text{т.к. } x = 5 \text{ не входит в ОДЗ}) \end{align} Ответ: \( -2 \).

  3. Выражение под корнем: \[ 3(2 - 5x) + 10x + 9 = 15 - 5x \geq 0 \quad \Rightarrow \quad x \leq 3 \] Ответ: \( x \leq 3 \).

  4. Пусть \( v \) — скорость катера в стоячей воде. Уравнение времен: \[ \frac{42}{v - 3} - \frac{27}{v + 3} = 1 \\ 15v + 207 = v^2 - 9 \\ v^2 - 15v - 216 = 0 \quad \Rightarrow \quad v = 24 \text{ км/ч} \] Скорость против течения: \( 24 - 3 = 21 \text{ км/ч} \). Ответ: 21 км/ч.

  5. График \( y = -5x(x + 2) \) — парабола с корнями \( x = -2 \), \( x = 0 \). Ординаты неположительны при \( x \leq -2 \) и \( x \geq 0 \). Ответ: \( x \in (-\infty; -2] \cup [0; +\infty) \).

  6. В ромбе \( BO = 8 \) см, \( OK = 4\sqrt{3} \). Рассмотрим треугольник \( OKB \): \[ \frac{8h}{\sqrt{64 + h^2}} = 4\sqrt{3} \quad \Rightarrow \quad h = 8\sqrt{3} \text{ (половина диагонали } AC) \] Сторона ромба: \[ \sqrt{(8)^2 + (8\sqrt{3})^2} = \sqrt{64 + 192} = 16 \text{ см} \] Ответ: 16 см.
Материалы школы Юайти