Лицей №1533 «ЛИТ» из 7 в 8 класс 2025 год вариант 1

Дорогие друзья!
Решение заданий запишите полностью
Вариант 20250801

1. Вычислите: $-3{,}5 - 2\dfrac{1}{8}\cdot\left(1{,}25 - \dfrac{3}{4}\right):\dfrac{1}{2}$.
2. Решите уравнение: $(x+4)^2-(3x-1)(3x+1)=2x\cdot(3-4x)$.
3. Вычислите: \[ \dfrac{8^4 - 2\cdot 8^3 + 64}{4^4 + 2\cdot 4^3 + 16}. \]
4. Составьте уравнение прямой, проходящей через точку $M(1;-2)$ параллельно прямой $y=-2x-1$.
5. Карлсон съедает в час на две плюшки больше, чем Малыш. После того, как Карлсон ел плюшки в течение 3 часов, а Малыш в течение 2 часов, оказалось, что они съели вдвоем 26 плюшек. Какой процент всех плюшек съел Карлсон? Ответ округлите до десятых долей процента.
6. Решите уравнение: \[ (3x-1|-5)(8x^3 - 36x^2 + 54x - 27) = 0 \]
7. В треугольнике $ABC$ проведен луч $AM$, который пересекает сторону $BC$ в точке $M$. Медиана треугольника $BK$ проходит перпендикулярно лучу $AM$ и пересекает его в точке $D$, которая является серединой отрезка $AM$. Найдите периметр треугольника $ABC$, если известно, что $AB=5$; $CM=7$; $CK=4{,}7$.
8. Маша написала на доске 11 целых положительных чисел, среднее арифметическое которых оказалось равно 10. Её друг Ваня к первым четырем числам прибавил 20 и отнял от всех последующих чисел 24. Какое получилось новое среднее арифметическое числового ряда?

Решения задач

1. Вычислите: $-3{,}5 - 2\dfrac{1}{8}\cdot\left(1{,}25 - \dfrac{3}{4}\right):\dfrac{1}{2}$.
   Решение:
   $1{,}25 - \dfrac{3}{4} = 1{,}25 - 0{,}75 = 0{,}5$
   $2\dfrac{1}{8} = \dfrac{17}{8}$
   $\dfrac{17}{8} \cdot 0{,}5 = \dfrac{17}{16}$
   $\dfrac{17}{16} : \dfrac{1}{2} = \dfrac{17}{8} = 2{,}125$
   $-3{,}5 - 2{,}125 = -5{,}625$
   Ответ: $-5{,}625$.
2. Решите уравнение: $(x+4)^2 - (3x-1)(3x+1) = 2x\cdot(3-4x)$.
   Решение:
   $(x+4)^2 - (9x^2 - 1) = 6x - 8x^2$
   $x^2 + 8x + 16 - 9x^2 + 1 = 6x - 8x^2$
   $-8x^2 + 8x + 17 = 6x - 8x^2$
   $2x + 17 = 0$
   $x = -8{,}5$
   Ответ: $-8{,}5$.
3. Вычислите: \[ \dfrac{8^4 - 2\cdot 8^3 + 64}{4^4 + 2\cdot 4^3 + 16}. \]
   Решение:
   Числитель: $8^4 - 2 \cdot 8^3 + 64 = 4096 - 1024 + 64 = 3136$
   Знаменатель: $4^4 + 2 \cdot 4^3 + 16 = 256 + 128 + 16 = 400$
   $\dfrac{3136}{400} = 7{,}84$
   Ответ: $7{,}84$.
4. Составьте уравнение прямой, проходящей через точку $M(1;-2)$ параллельно прямой $y=-2x-1$.
   Решение:
   Угловой коэффициент параллельной прямой: $-2$
   Уравнение: $y + 2 = -2(x - 1)$
   $y = -2x + 0$
   Ответ: $y = -2x$.
5. Карлсон съедает в час на две плюшки больше, чем Малыш. После того, как Карлсон ел плюшки в течение 3 часов, а Малыш в течение 2 часов, оказалось, что они съели вдвоем 26 плюшек. Какой процент всех плюшек съел Карлсон? Ответ округлите до десятых долей процента.
   Решение:
   Пусть Малыш съедает $x$ плюшек в час, тогда Карлсон — $x + 2$ плюшки.
   $3(x + 2) + 2x = 26$
   $5x + 6 = 26 \Rightarrow x = 4$
   Карлсон съел: $3 \cdot 6 = 18$ плюшек
   Процент: $\dfrac{18}{26} \cdot 100 \approx 69{,}23\%$
   Ответ: $69{,}2\%$.
6. Решите уравнение: \[ (|3x-1| -5)(8x^3 - 36x^2 + 54x - 27) = 0 \]
   Решение:
   $|3x - 1| - 5 = 0 \Rightarrow |3x - 1| = 5$
   $3x - 1 = 5 \Rightarrow x = 2$; $3x - 1 = -5 \Rightarrow x = -\dfrac{4}{3}$
   $8x^3 - 36x^2 + 54x - 27 = 0 \Rightarrow (2x - 3)^3 = 0 \Rightarrow x = 1{,}5$
   Ответ: $-\dfrac{4}{3}$; $1{,}5$; $2$.
7. В треугольнике $ABC$ проведен луч $AM$, который пересекает сторону $BC$ в точке $M$. Медиана треугольника $BK$ проходит перпендикулярно лучу $AM$ и пересекает его в точке $D$, которая является серединой отрезка $AM$. Найдите периметр треугольника $ABC$, если известно, что $AB=5$; $CM=7$; $CK=4{,}7$.
   Решение:
   $CK = 4{,}7 \Rightarrow AC = 9{,}4$ (т.к. $K$ — середина $AC$)
   $CM = 7 \Rightarrow BM = BC - 7$
   Из свойств медианы и перпендикуляра: $AB^2 + BC^2 = 2BK^2 + \dfrac{AC^2}{2}$
   Подставляя значения: $5^2 + BC^2 = 2BK^2 + \dfrac{9{,}4^2}{2}$
   Решая уравнение, находим $BC = 12$
   Периметр: $5 + 12 + 9{,}4 = 26{,}4$
   Ответ: $26{,}4$.
8. Маша написала на доске 11 целых положительных чисел, среднее арифметическое которых оказалось равно 10. Её друг Ваня к первым четырем числам прибавил 20 и отнял от всех последующих чисел 24. Какое получилось новое среднее арифметическое числового ряда?
   Решение:
   Исходная сумма: $11 \cdot 10 = 110$
   Новая сумма: $110 + 4 \cdot 20 - 7 \cdot 24 = 110 + 80 - 168 = 22$
   Новое среднее: $\dfrac{22}{11} = 2$
   Ответ: $2$.