Лицей №1533 «ЛИТ» из 7 в 8 класс 2024 год вариант 1

ЛИТ 1533

2024

27.08.2024

Задания вступительных испытаний в ЛИТ в 7, 8, 9 классы в 2024 году (добор в августе)

Вариант 20240901
Решение заданий запишите полностью

1. Упростите выражение: \[ \left| 7 - 5\sqrt{2} \cdot (7 + 5\sqrt{2}) \right| - 5 \]
   
   
2. Решите уравнение: \[ (x^2 - x + 30) \cdot \sqrt{1 - x} = 0 \]
   
   
3. Решите неравенство: \[ \frac{y - 1}{2} 2 \]
   
   
4. Биссектриса тупого угла параллелограмма делит противоположную сторону в отношении \( 4 : 3 \), считая от вершины острого угла. Найдите большую сторону параллелограмма, если его периметр равен 110.
   
   
5. У стрелка три патрона. Вероятность попасть в мишень с первого выстрела равна 0.6, при последующих выстрелах — 0.8. Он стреляет в мишень, пока не попадёт или пока у него не закончатся патроны. Найдите вероятность того, что стрелок попадёт в мишень со второго или с третьего выстрела.
   
   
6. Найдите площадь равнобедренной трапеции, у которой основания равны 8 см и 18 см, а боковая сторона равна средней линии.
   
   
7. Два автомата разной мощности изготовили за 2 часа 55 минут некоторое количество деталей. За какое время это количество деталей мог бы изготовить первый автомат, если известно, что ему для этого потребуется на 2 часа больше, чем второму автомату?
   
   
8. Постройте график функции: \[ y = \frac{(x^2 - 3x) \cdot |x|}{x - 3} \]
   
   
9. Найдите все значения параметра \( p \), при которых корни уравнения \[ x^2 + (p + 1)x - 2p(p - 1) = 0 \] меньше, чем 1.

Решения задач

1. Упростите выражение: \[ \left| 7 - 5\sqrt{2} \cdot (7 + 5\sqrt{2}) \right| - 5 \] Решение: Раскроем скобки: \[ 7 - 5\sqrt{2} \cdot 7 - (5\sqrt{2})^2 = 7 - 35\sqrt{2} - 50 = -43 - 35\sqrt{2} \] Модуль отрицательного числа: \[ |-43 - 35\sqrt{2}| = 43 + 35\sqrt{2} \] Вычитаем 5: \[ 43 + 35\sqrt{2} - 5 = 38 + 35\sqrt{2} \] Ответ: \(38 + 35\sqrt{2}\).
   
   
2. Решите уравнение: \[ (x^2 - x + 30) \cdot \sqrt{1 - x} = 0 \] Решение:
   Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю:
   • \(\sqrt{1 - x} = 0 \Rightarrow x = 1\)
   • \(x^2 - x + 30 = 0 \Rightarrow D = 1 - 120 = -119\) (нет корней)
   Проверка области определения \(\sqrt{1 - x}\): \(x \leq 1\).
   Единственное решение: \(x = 1\).
   Ответ: 1.
   
   
3. Решите неравенство: \[ \frac{y - 1}{2} 2 \] Решение: Умножим обе части на 8: \[ 4(y - 1) < 2y + 3 \Rightarrow 4y - 4 < 2y + 3 \Rightarrow 2y < 7 \Rightarrow y 2\): \[ 2 < y < 3,5 \] Ответ: \((2; 3,5)\).
   
   
4. Биссектриса тупого угла параллелограмма делит противоположную сторону в отношении \(4 : 3\), считая от вершины острого угла. Найдите большую сторону параллелограмма, если его периметр равен 110.
   Решение: Пусть \(AB = CD = a\) и \(BC = AD = b\).
   По свойству биссектрисы: \(\frac{AB}{AD} = \frac{4}{3} \Rightarrow \frac{a}{b} = \frac{4}{3}\).
   Периметр: \(2(a + b) = 110 \Rightarrow a + b = 55\).
   Подставим \(a = \frac{4}{3}b\): \[ \frac{4}{3}b + b = 55 \Rightarrow \frac{7}{3}b = 55 \Rightarrow b = \frac{165}{7}, \quad a = \frac{220}{7} \] Большая сторона: \(\frac{220}{7}\).
   Ответ: \(\frac{220}{7}\).
   
   
5. Вероятность попасть в мишень с первого выстрела 0,6, последующих — 0,8. У стрелка 3 патрона. Найдите вероятность попасть со второго или третьего выстрела.
   Решение:
   
   • Вероятность попасть со второго выстрела: \[ (1 - 0,6) \cdot 0,8 = 0,32 \]
   • Вероятность попасть с третьего выстрела: \[ (1 - 0,6) \cdot (1 - 0,8) \cdot 0,8 = 0,064 \]
   Общая вероятность: \[ 0,32 + 0,064 = 0,384 \] Ответ: 0,384.
   
   
6. Найдите площадь равнобедренной трапеции с основаниями 8 см и 18 см, если боковая сторона равна средней линии.
   Решение: Средняя линия: \[ \frac{8 + 18}{2} = 13 \text{ см} \] Высота трапеции: \[ h = \sqrt{13^2 - 5^2} = \sqrt{144} = 12 \text{ см} \] Площадь: \[ \frac{(8 + 18)}{2} \cdot 12 = 156 \text{ см}^2 \] Ответ: 156 см².
   
   
7. Два автомата изготовили детали за 2 часа 55 минут. Найдите время работы первого автомата, если ему требуется на 2 часа больше, чем второму.
   Решение: Пусть время второго автомата \(t\) часов, тогда первого — \(t + 2\). Уравнение совместной работы: \[ \frac{35}{12} \left(\frac{1}{t} + \frac{1}{t + 2}\right) = 1 \] Приводим к квадратному уравнению: \[ 6t^2 - 23t - 35 = 0 \Rightarrow t = 5 \text{ часов (второй)}, \quad t + 2 = 7 \text{ часов (первый)}. \] Ответ: 7 часов.
   
   
8. Постройте график функции: \[ y = \frac{(x^2 - 3x) \cdot |x|}{x - 3} \] Решение: Упростим выражение при \(x \neq 3\):
   • \(x \geq 0\): \(|x| = x\), тогда \[ y = \frac{x^2 - 3x}{x - 3} \cdot x = x^2 \]
   • \(x < 0\): \(|x| = -x\), тогда \[ y = \frac{x^2 - 3x}{x - 3} \cdot (-x) = -x^2 \]
   График: \(y = x^2\) при \(x > 0\), \(y = -x^2\) при \(x < 0\), разрыв в точке \(x = 3\).
   Ответ: график состоит из двух ветвей парабол.
   
   
9. Найдите все \(p\), при которых корни уравнения \[ x^2 + (p + 1)x - 2p(p - 1) = 0 \] меньше 1.
   Решение: Условия для корней:
   1. \(f(1) > 0\): \[ 1 + (p + 1) - 2p(p - 1) > 0 \Rightarrow -2p^2 + 3p + 2 > 0 \Rightarrow p \in (-0,5; 2) \]
   2. Вершина параболы левее \(1\): \[ -\frac{p + 1}{2} -3 \]
   Итоговый интервал: \(-0,5 < p < 2\).
   Ответ: \((-0,5; 2)\).