Лицей №1533 «ЛИТ» из 7 в 8 класс 2023 год вариант 1

ЛИТ 1533

2023

25.08.2023

1. Решите уравнение: \[ \frac{5x - 3}{9} = \frac{4x + 3}{6} \equiv x - 1 \]
   
   
2. Вычислите: \[ \frac{36^3 \cdot 15^2}{18^4 \cdot 10^3} - (-1{,}3)^0 \]
   
   
3. Сократите дробь: \[ \frac{4a^2 - 3ab - 4a + 3b}{5a - 5} \]
   
   
4. Решите уравнение: \[ -2|x| + 2(x + 1) = 5 \]
   
   
5. Разложите на множители: \[ a^2 - 36 - 2a(36 - a^2) - a^2(36 - a^2) \]
   
   
6. Задайте линейную функцию, график которой параллелен данной прямой и проходит через точку $N$: \[ -4x + 2y + 1 = 0, \quad N(1; 4) \]
   
   
7. Решите задачу:
   Четырёхзначное нечётное число кратно 5. Если его последнюю цифру перенести на первое место, не меняя порядок остальных цифр, то получится число, которое на 216 меньше удвоенного исходного числа. Найдите исходное четырёхзначное число.
   
   
8. В треугольнике $ABC$ биссектрисы углов $A$ и $C$ пересекаются в точке $O$. Найдите градусную меру угла $\angle AOC$, если известно, что угол $\angle ABC = 80^\circ$.
   
   
9. Параллельные прямые $a$ и $b$ пересекает секущая $KM$ (точка $K$ лежит на прямой $a$, а точка $M$ — на прямой $b$). Биссектриса угла $M$ пересекает прямую $a$ в точке $N$. Найдите длину отрезка $KN$, если длина отрезка $KM$ равна $7$ см.

Решения задач

1. Решите уравнение: \[ \frac{5x - 3}{9} = \frac{4x + 3}{6} \equiv x - 1 \] Решение:
   Умножим обе части уравнения на 18 (НОК знаменателей 9 и 6):
   $2(5x - 3) = 3(4x + 3)$
   $10x - 6 = 12x + 9$
   $-6 - 9 = 12x - 10x$
   $-15 = 2x \quad \Rightarrow \quad x = -7{,}5$
   Проверка подстановкой в исходное уравнение подтверждает корректность решения.
   Ответ: $-7{,}5$.
   
   
2. Вычислите: \[ \frac{36^3 \cdot 15^2}{18^4 \cdot 10^3} - (-1{,}3)^0 \] Решение:
   Упростим дробь:
   $\frac{(18 \cdot 2)^3 \cdot (3 \cdot 5)^2}{(18^4) \cdot (2 \cdot 5)^3} = \frac{18^3 \cdot 2^3 \cdot 3^2 \cdot 5^2}{18^4 \cdot 2^3 \cdot 5^3} = \frac{3^2}{18 \cdot 5} = \frac{9}{90} = \frac{1}{10}$
   Вычитаем $(-1{,}3)^0 = 1$:
   $\frac{1}{10} - 1 = -\frac{9}{10} = -0{,}9$
   Ответ: $-0{,}9$.
   
   
3. Сократите дробь: \[ \frac{4a^2 - 3ab - 4a + 3b}{5a - 5} \] Решение:
   Разложим числитель на множители группировкой:
   $(4a^2 - 4a) - (3ab - 3b) = 4a(a - 1) - 3b(a - 1) = (a - 1)(4a - 3b)$
   Знаменатель: $5(a - 1)$
   Сокращаем:
   $\frac{(a - 1)(4a - 3b)}{5(a - 1)} = \frac{4a - 3b}{5}$ (при $a \neq 1$)
   Ответ: $\frac{4a - 3b}{5}$.
   
   
4. Решите уравнение: \[ -2|x| + 2(x + 1) = 5 \] Решение:
   Рассмотрим два случая:
   • $x \geq 0$: $-2x + 2x + 2 = 5 \quad \Rightarrow \quad 2 = 5$ — решений нет
   • $x < 0$: $-2(-x) + 2x + 2 = 5 \quad \Rightarrow \quad 4x + 2 = 5 \quad \Rightarrow \quad x = \frac{3}{4}$ — не удовлетворяет условию $x < 0$
   Ответ: корней нет.
   
   
5. Разложите на множители: \[ a^2 - 36 - 2a(36 - a^2) - a^2(36 - a^2) \] Решение:
   Перепишем выражение:
   $(a^2 - 36) - (36 - a^2)(2a + a^2) = (a^2 - 36)(1 + 2a + a^2) = (a - 6)(a + 6)(a + 1)^2$
   Ответ: $(a - 6)(a + 6)(a + 1)^2$.
   
   
6. Задайте линейную функцию, график которой параллелен данной прямой и проходит через точку $N$: \[ -4x + 2y + 1 = 0, \quad N(1; 4) \] Решение:
   Приведём уравнение к виду $y = kx + b$:
   $2y = 4x - 1 \quad \Rightarrow \quad y = 2x - 0{,}5$ (угловой коэффициент $k = 2$)
   Уравнение параллельной прямой: $y = 2x + b$. Подставим координаты точки $N$:
   $4 = 2 \cdot 1 + b \quad \Rightarrow \quad b = 2$
   Ответ: $y = 2x + 2$.
   
   
7. Решите задачу:
   Четырёхзначное нечётное число кратно 5. Если его последнюю цифру перенести на первое место, не меняя порядок остальных цифр, то получится число, которое на 216 меньше удвоенного исходного числа. Найдите исходное четырёхзначное число.
   Решение:
   Пусть число $1000a + 100b + 10c + 5$. После переноса цифры: $5000 + 100a + 10b + c$. Уравнение:
   $5000 + 100a + 10b + c = 2(1000a + 100b + 10c + 5) - 216$
   Решение уравнения даёт $a = 2$, $b = 7$, $c = 4$. Исходное число: 2745.
   Ответ: 2745.
   
   
8. В треугольнике $ABC$ биссектрисы углов $A$ и $C$ пересекаются в точке $O$. Найдите градусную меру угла $\angle AOC$, если известно, что угол $\angle ABC = 80^\circ$.
   Решение:
   Сумма углов треугольника: $\angle A + \angle C = 100^\circ$. Биссектрисы делят углы пополам:
   $\angle OAC + \angle OCA = \frac{\angle A}{2} + \frac{\angle C}{2} = 50^\circ$
   $\angle AOC = 180^\circ - 50^\circ = 130^\circ$
   Ответ: $130^\circ$.
   
   
9. Параллельные прямые $a$ и $b$ пересекает секущая $KM$ (точка $K$ лежит на прямой $a$, а точка $M$ — на прямой $b$). Биссектриса угла $M$ пересекает прямую $a$ в точке $N$. Найдите длину отрезка $KN$, если длина отрезка $KM$ равна $7$ см.
   Решение:
   Биссектриса угла $M$ делит его на два равных угла. Из свойства параллельных прямых и биссектрисы следует, что треугольник $KMN$ равнобедренный с основанием $MN$. Следовательно:
   $KN = KM = 7$ см
   Ответ: 7 см.