Лицей №1533 «ЛИТ» из 7 в 8 класс 2021 год вариант 1

ЛИТ 1533

2021

Добор

1. Ванна вмещает 120 литров воды. Хозяйка начала заполнять её одновременно с помощью двух труб. При этом первая труба за час пропускает на 6 литров воды меньше, чем вторая. Сколько литров воды пропускает в час каждая труба, если через полчаса после начала заполнения, осталось наполнить 79 литров?
   
   
2. Известно, что прямая, заданная уравнением \( y = kx + b \), проходит через точки \( A(4; -6) \) и \( B(-8; -12) \). Найдите \( k \) и \( b \).
   
   
3. Четыре точки \( A, B, C \) и \( D \) расположены так, что \( AB \parallel CD \), \( AB = CD = 4 \), \( BC = 8 \), \( \angle BCD = 120^\circ \). Отрезки \( AD \) и \( BC \) пересекаются в точке \( K \). Найдите \( CK \).
   
   
4. \( CH \) — высота треугольника \( ABC \). Найдите \( BH \).
   
   
5. Упростите выражение: \[ \frac{7a^2 - 2a}{2a - 3} : \frac{4a^2 - 9}{2a^2 + 3a} \]
   
   
6. Решите уравнение: \[ (2x - 1)^2 - (x - 2)(3x + 4) = (1 + x)^2 \]

Решения задач

1. Ванна вмещает 120 литров воды. Хозяйка начала заполнять её одновременно с помощью двух труб. При этом первая труба за час пропускает на 6 литров воды меньше, чем вторая. Сколько литров воды пропускает в час каждая труба, если через полчаса после начала заполнения осталось наполнить 79 литров?
   Решение: За полчаса ванна заполнилась на $120 - 79 = 41$ литр. Значит, общая производительность труб:
   $41 \cdot 2 = 82$ л/ч.
   Пусть вторая труба пропускает $x$ л/ч, тогда первая — $(x - 6)$ л/ч. Уравнение:
   $x + (x - 6) = 82$
   $2x = 88 \quad \Rightarrow \quad x = 44$ л/ч (вторая труба)
   Первая труба: $44 - 6 = 38$ л/ч.
   Ответ: 38 л/ч и 44 л/ч.
   
   
2. Известно, что прямая, заданная уравнением \( y = kx + b \), проходит через точки \( A(4; -6) \) и \( B(-8; -12) \). Найдите \( k \) и \( b \).
   Решение: Угловой коэффициент:
   $k = \frac{-12 - (-6)}{-8 - 4} = \frac{-6}{-12} = 0,5$
   Подставляем точку \( A(4; -6) \):
   $-6 = 0,5 \cdot 4 + b \quad \Rightarrow \quad b = -6 - 2 = -8$
   Проверка через точку \( B(-8; -12) \):
   $-12 = 0,5 \cdot (-8) - 8 = -4 - 8 = -12$ (верно)
   Ответ: \( k = 0,5 \), \( b = -8 \).
   
   
3. Четыре точки \( A, B, C \) и \( D \) расположены так, что \( AB \parallel CD \), \( AB = CD = 4 \), \( BC = 8 \), \( \angle BCD = 120^\circ \). Отрезки \( AD \) и \( BC \) пересекаются в точке \( K \). Найдите \( CK \).
   Решение: Используем координатный метод. Поместим точку \( C \) в начало координат \((0; 0)\). Координаты точек:
   $D(4; 0)$, $B(-4; 4\sqrt{3})$ (из геометрии угла \( 120^\circ \)), $A(-8; 4\sqrt{3})$.
   Уравнение прямой \( AD \):
   $x = -8 + 12t$, $y = 4\sqrt{3} - 4\sqrt{3}t$
   Уравнение прямой \( BC \):
   $x = -4 + 4t$, $y = 4\sqrt{3} - 4\sqrt{3}t$
   Решаем систему уравнений:
   $-8 + 12t = -4 + 4s$
   $4\sqrt{3} - 4\sqrt{3}t = 4\sqrt{3} - 4\sqrt{3}s$
   Получаем \( t = s = 0,5 \). Координаты точки \( K(-2; 2\sqrt{3}) \).
   Длина \( CK \):
   $\sqrt{(-2 - 0)^2 + (2\sqrt{3} - 0)^2} = \sqrt{4 + 12} = 4$
   Ответ: 4.
   
   
4. \( CH \) — высота треугольника \( ABC \). Найдите \( BH \).
   Решение: В условии задачи отсутствуют необходимые данные (стороны, углы и т.д.). Для решения требуется дополнительная информация.
   Ответ: Недостаточно данных.
   
   
5. Упростите выражение: \[ \frac{7a^2 - 2a}{2a - 3} : \frac{4a^2 - 9}{2a^2 + 3a} \]
   Решение: Преобразуем деление в умножение:
   $\frac{7a^2 - 2a}{2a - 3} \cdot \frac{2a^2 + 3a}{4a^2 - 9} = \frac{a(7a - 2)}{2a - 3} \cdot \frac{a(2a + 3)}{(2a - 3)(2a + 3)}$
   Сокращаем общие множители:
   $\frac{a^2(7a - 2)}{(2a - 3)^2}$
   Ответ: \(\frac{a^2(7a - 2)}{(2a - 3)^2}\).
   
   
6. Решите уравнение: \[ (2x - 1)^2 - (x - 2)(3x + 4) = (1 + x)^2 \]
   Решение: Раскрываем скобки:
   $4x^2 - 4x + 1 - (3x^2 - 2x - 8) = x^2 + 2x + 1$
   Упрощаем:
   $x^2 - 2x + 9 = x^2 + 2x + 1$
   $-4x + 8 = 0 \quad \Rightarrow \quad x = 2$
   Проверка подстановкой \( x = 2 \) подтверждает решение.
   Ответ: 2.