Лицей №1533 «ЛИТ» из 7 в 8 класс 2013 год вариант 1

ЛИТ 1533

2013

Образцы

Алгебраические задачи

Вычислите:

• \( 0{,}1^? - 0{,}57 \)
• \( 0{,}4 - 0{,}12 + 0{,}88 - 0{,}4 \)
• \( -24 \cdot (-0{,}08) + \frac{1}{19} \)
• \( 15{,}4 - 0{,}18 \)

Решите уравнения:

• \( 0{,}2 + 2 \cdot (0{,}3 - 4) - 0{,}4(x - 6) = 0{,}5x + 8 \)
• \( x^2 + 3x - 5 = 6 \)

Разложите на множители:

• \( 25m^2 - 9a^2 + 30mn - 6ab + 9n^2 - b^2 \)
• \( 30a^2 - 18a^7b - 72b + 120a \)
• \( 81a^2 + 6bc - 9b^2 - c^2 \)

Текстовые задачи

• Расстояние между пунктами A и B велосипедист может проехать на 5 часов быстрее пешехода. Скорость велосипедиста — 12 км/ч. Скорость пешехода составляет \( \frac{100}{3}% \) скорости велосипедиста. Найдите расстояние между пунктами A и B.
  
  
• Почтальон от почты до села проехал на мотоцикле со скоростью 30 км/ч. Назад он возвращался пешком со скоростью, составляющей 20% скорости мотоцикла, и затратил на путь обратно на 1 ч 12 мин больше. Найдите расстояние от почты до села.
  
  
• Из двух пунктов, расстояние между которыми 42 км, навстречу друг другу движутся две моторные лодки. Первая лодка (по течению) шла 1 ч, скорость — 18 км/ч. Вторая лодка шла 1,5 ч, скорость — 17 км/ч. Сколько км проплывёт спичка, брошенная за борт, за 5 ч?

Геометрические задачи

• Докажите, что диагонали четырёхугольника, у которого все стороны равны, взаимно перпендикулярны.
  
  
• Докажите, что два треугольника равны, если у них равны углы при двух вершинах и равны высоты, проведённые из третьей вершины.
  
  
• На сторонах \( AC \) и \( BC \) треугольника \( ABC \) выбраны точки \( M \) и \( N \) так, что \( MN \parallel AB \) и \( MN = AM \). Найдите угол \( \angle BAC \), если \( \angle B = 45^\circ \), \( \angle ANC = 60^\circ \).

Линейная функция и её свойства

• Постройте график функции \( y = 1{,}5x + 2 \). Определите:
  • значение \( y \), при \( x = -4 \);
  • значение \( x \), при \( y = -1 \).
  
  
  
• Дана функция \( y = -\frac{2}{7}x - 2 \). Без построения графика определите, принадлежит ли графику точка \( M(-2{,}25; \frac{19}{14}) \). Найдите координаты точек пересечения с осями координат.
  
  
• Найдите \( k \) и \( b \) в уравнении прямой \( y = kx + b \), если она параллельна прямой \( y = 2x + 1 \) и проходит через точку \( M(-0{,}5; 3) \).

Степень с натуральным показателем. Свойства степеней

Упростите выражение: \[ \frac{(-2a^2x^5)^4 \cdot (-9a^2x^5)^2}{(-6a^4x^7)^3} \]

Вычислите: \[ \frac{5 \cdot (3 \cdot 7^{15} - 19 \cdot 7^{14})}{7^{16} + 3 \cdot 7^{15}} \]

Решите уравнение: \[ \frac{(x^{20})^2 \cdot (x^3)^{18}}{(x^5)^{18} \cdot (x^2)^{25}} = \frac{1}{1043} \]

Решения задач

1. Вычислите:
   1. \( 0{,}1^2 - 0{,}57 = 0{,}01 - 0{,}57 = -0{,}56 \)
      Ответ: \(-0{,}56\).
   2. \( 0{,}4 - 0{,}12 + 0{,}88 - 0{,}4 = (0{,}4 - 0{,}4) + (-0{,}12 + 0{,}88) = 0 + 0{,}76 = 0{,}76 \)
      Ответ: \(0{,}76\).
   3. \(-24 \cdot (-0{,}08) + \frac{1}{19} = 1{,}92 + \frac{1}{19} = \frac{48}{25} + \frac{1}{19} = \frac{937}{475} \approx 1{,}97 \)
      Ответ: \(\frac{937}{475}\).
   4. \(15{,}4 - 0{,}18 = 15{,}22 \)
      Ответ: \(15{,}22\).
   
   
   
2. Решите уравнения:
   1. \(0{,}2 + 2 \cdot (0{,}3 - 4) - 0{,}4(x - 6) = 0{,}5x + 8\)
      Решение:
      \(0{,}2 + 2 \cdot (-3{,}7) - 0{,}4x + 2{,}4 = 0{,}5x + 8\)
      \(-4{,}8 - 0{,}4x = 0{,}5x + 8\)
      \(-12{,}8 = 0{,}9x\)
      \(x = -\frac{128}{9} \approx -14{,}22\)
      Ответ: \(-\frac{128}{9}\).
      
      
   2. \(x^2 + 3x - 5 = 6 \Rightarrow x^2 + 3x - 11 = 0\)
      Решение:
      \(D = 9 + 44 = 53\)
      \(x = \frac{-3 \pm \sqrt{53}}{2}\)
      Ответ: \(\frac{-3 \pm \sqrt{53}}{2}\).
   
   
   
3. Разложите на множители:
   1. \(25m^2 - 9a^2 + 30mn - 6ab + 9n^2 - b^2 = (5m + 3n)^2 - (3a + b)^2 = (5m + 3n - 3a - b)(5m + 3n + 3a + b)\)
      Ответ: \((5m + 3n - 3a - b)(5m + 3n + 3a + b)\).
   2. \(30a^2 - 18a^7b - 72b\)