Лицей №1533 «ЛИТ» из 6 в 7 класс 2022 год вариант 1

ЛИТ 1533

2022

25.08.2022

1. Раскройте скобки и упростите выражение: \[ 5x - (2+x) - 2\cdot(4x-5). \]
   
   
2. Вычислите наиболее рациональным способом:
   1. \[ \left( -\frac{3}{25} - \frac{1}{3} \right) \cdot (-7{,}5); \]
   2. \[ -32{,}49 \cdot (-62{,}7) + 6{,}27 \cdot (-304{,}9). \]
   
   
   
3. Решите уравнение: \[ 3 - \frac{x-5}{5} = \frac{x-2}{4}. \]
   
   
4. 8 маляров могут покрасить зал за $11{,}5$ ч. На сколько быстрее могут выполнить это задание маляры, если их количество увеличить на $25\%?$
   
   
5. Турист прошёл в первый день \(\frac{5}{8}\) всего маршрута, во второй день \(\frac{2}{3}\) остатка, после чего ему осталось пройти на $4{,}5$ км меньше, чем он прошёл во второй день. Каков весь маршрут туриста?
   
   
6. Если из первого мешка пересыпать во второй $1{,}6$ кг семян, то в обоих мешках станет поровну. Если из второго пересыпать в первый $0{,}5$ кг, то в первом мешке станет в $2{,}5$ раза больше, чем во втором. Сколько килограммов семян было в первом мешке первоначально?

Решения задач

1. Раскройте скобки и упростите выражение: \[ 5x - (2+x) - 2\cdot(4x-5) \] Решение: \[ 5x - 2 - x - 8x + 10 = (5x - x - 8x) + (-2 + 10) = -4x + 8 = 8 - 4x \] Ответ: \(8 - 4x\).
   
   
2. Вычислите наиболее рациональным способом:
   1. \[ \left( -\frac{3}{25} - \frac{1}{3} \right) \cdot (-7{,}5) \] Решение: \[ \left(-\frac{9}{75} - \frac{25}{75}\right) \cdot \left(-\frac{15}{2}\right) = \left(-\frac{34}{75}\right) \cdot \left(-\frac{15}{2}\right) = \frac{16\cdot15}{75\cdot2} = \frac{240}{150} = 1{,}6 \] Ответ: 1,6.
      
      
   2. \[ -32{,}49 \cdot (-62{,}7) + 6{,}27 \cdot (-304{,}9) \] Решение: \[ 32{,}49 \cdot 62{,}7 - 6{,}27 \cdot 304{,}9 = 62{,}7 \cdot (32{,}49 - 30{,}49) = 62{,}7 \cdot 2 = 125{,}4 \] Ответ: 125,4.
   
   
   
3. Решите уравнение: \[ 3 - \frac{x-5}{5} = \frac{x-2}{4} \] Решение: \[ 60 - 4(x - 5) = 5(x - 2) \] \[ 60 - 4x + 20 = 5x - 10 \] \[ 80 = 9x - 10 \] \[ 9x = 90 \quad \Rightarrow \quad x = 10 \] Ответ: 10.
   
   
4. 8 маляров могут покрасить зал за 11,5 ч. На сколько быстрее могут выполнить это задание маляры, если их количество увеличить на $25\%?$
   Решение: Увеличение маляров на $25\%$:
   \(8 + 8 \cdot 0{,}25 = 10\) маляров.
   Время работы пропорционально обратно количеству рабочих:
   \(11{,}5 \cdot \frac{8}{10} = 9{,}2\) часа.
   Разница: \(11{,}5 - 9{,}2 = 2{,}3\) часа.
   Ответ: на 2,3 часа.
   
   
5. Турист прошёл в первый день \(\frac{5}{8}\) всего маршрута, во второй день \(\frac{2}{3}\) остатка, после чего ему осталось пройти на 4,5 км меньше, чем он прошёл во второй день. Каков весь маршрут туриста?
   Решение: Пусть весь маршрут \(S\) км.
   Остаток после первого дня: \(\frac{3}{8}S\).
   Во второй день пройдено: \(\frac{2}{3} \cdot \frac{3}{8}S = \frac{1}{4}S\).
   Осталось: \(S - \frac{5}{8}S - \frac{1}{4}S = \frac{1}{8}S\).
   По условию: \(\frac{1}{4}S - \frac{1}{8}S = 4{,}5 \quad \Rightarrow \quad \frac{1}{8}S = 4{,}5 \quad \Rightarrow \quad S = 36\) км.
   Ответ: 36 км.
   
   
6. Если из первого мешка пересыпать во второй 1,6 кг семян, то в обоих мешках станет поровну. Если из второго пересыпать в первый 0,5 кг, то в первом мешке станет в 2,5 раза больше, чем во втором. Сколько килограммов семян было в первом мешке первоначально?
   Решение: Пусть в первом мешке \(x\) кг, во втором \(y\) кг. Система уравнений: \[ \begin{cases} x - 1{,}6 = y + 1{,}6 \\ x + 0{,}5 = 2{,}5(y - 0{,}5) \end{cases} \] Из первого уравнения: \(x = y + 3{,}2\).
   Подставляем во второе: \[ (y + 3{,}2) + 0{,}5 = 2{,}5y - 1{,}25 \quad \Rightarrow \quad 1{,}5y = 3{,}95 \quad \Rightarrow \quad y = 4{,}95 \] Тогда \(x = 4{,}95 + 3{,}2 = 8{,}15\) кг.
   Ответ: 8,15 кг.