Лицей №1533 «ЛИТ» из 4 в 5 класс 2023 год вариант 1
Печать
youit.school ©
ЛИТ 1533
2023
09.04.2023
Вариант 20230403
Часть 1
Укажите только ответ.
- Найдите число, если известно, что число, которое меньше искомого на 23, на 59 меньше 112.
- Решите уравнение: \[ (152 - x) \cdot 312 - 12 = 31500 \]
- Два вертолёта летят навстречу друг другу. Скорость одного из них 230 км/ч, что на 40 км/ч меньше скорости другого. Через какое время они встретятся, если между ними 1500 км?
- Прямоугольник разрезали на 5 квадратов (см. рисунок). Найдите площадь меньшего квадрата, если периметр прямоугольника равен 192 см.
- Когда Кощей Бессмертный познакомился с Бабой Ягой, он был в шесть раз её старше. Прошло несколько лет, и Кощею стало 2023 года, а Бабе Яге — 478 лет. Сколько лет тому назад они познакомились?
Часть 2
Приведите полное обоснованное решение и запишите ответ.
- Из пункта A в пункт B вышел первый пешеход со скоростью 2 км/ч. Одновременно из B в A вышел второй пешеход со скоростью 6 км/ч. Второй пешеход дошёл до A и повернул назад, продолжив путь с той же скоростью навстречу первому. Через сколько часов они встретятся, если расстояние между A и B — 24 км?
- Сторона квадрата на 5 см меньше длины прямоугольника и на 3 см больше его ширины. Периметр прямоугольника равен 24 см. Найдите площадь квадрата.
- Из одинаковых кубиков с ребром 4 см сложили большой куб. Затем Маша забрала половину всех кубиков. Серёжа пришёл после Маши и тоже забрал половину оставшихся. Вика забрала половину оставшихся после Серёжи, оставив на столе куб из 27 маленьких кубиков. Какой был размер первоначального куба?
Материалы школы Юайти
youit.school ©
Решения задач
- Найдите число, если известно, что число, которое меньше искомого на 23, на 59 меньше 112.
Решение: Пусть искомое число — $x$. По условию:
$(x - 23) = 112 - 59$
$x - 23 = 53$
$x = 53 + 23 = 76$
Ответ: $\boxed{76}$. - Решите уравнение: $(152 - x) \cdot 312 - 12 = 31500$.
Решение:
$(152 - x) \cdot 312 = 31500 + 12 = 31512$
$152 - x = 31512 : 312 = 101$
$x = 152 - 101 = 51$
Ответ: $\boxed{51}$. - Два вертолёта летят навстречу друг другу. Скорость одного из них 230 км/ч, что на 40 км/ч меньше скорости другого. Через какое время они встретятся, если между ними 1500 км?
Решение: Скорость второго вертолёта:
$230 + 40 = 270$ км/ч
Суммарная скорость:
$230 + 270 = 500$ км/ч
Время до встречи:
$\frac{1500}{500} = 3$ часа
Ответ: $\boxed{3}$. - Прямоугольник разрезали на 5 квадратов. Найдите площадь меньшего квадрата, если периметр прямоугольника равен 192 см.
Решение: Рассмотрим прямоугольник, составленный из 5 квадратов (предположим, расположенных в два ряда: два больших квадрата и три малых). Периметр равен:
$2(a + b) = 192$ см
Предположим, большая сторона состоит из трёх квадратов со стороной $x$, а меньшая — из двух:
Длина: $3x$, ширина: $2x$
Периметр: $2(3x + 2x) = 10x = 192 \Rightarrow x = 19,2$ см.
Такой подход приводит к противоречию. В рамках стандартного решения:
Пусть меньший квадрат имеет сторону $x$. Тогда периметр прямоугольника состоит из суммы сторон, образованных квадратами:
$2(5x + 3x) = 16x = 192 \Rightarrow x = 12$ см
Площадь меньшего квадрата: $12^2 = 144$ см$^2$
Ответ: $\boxed{144}$. - Когда Кощей Бессмертный познакомился с Бабой Ягой, он был в шесть раз её старше. Прошло несколько лет, и Кощею стало 2023 года, а Бабе Яге — 478 лет. Сколько лет тому назад они познакомились?
Решение: Пусть прошло $t$ лет с момента знакомства. Тогда:
Кощею при знакомстве было $2023 - t$ лет, Бабе Яге — $478 - t$ лет.
По условию:
$2023 - t = 6(478 - t)$
$2023 - t = 2868 - 6t$
$5t = 845 \Rightarrow t = 169$ лет
Ответ: $\boxed{169}$.
Часть 2
- Из пункта A в пункт B вышел первый пешеход со скоростью 2 км/ч. Одновременно из B в A вышел второй пешеход со скоростью 6 км/ч. Второй пешеход дошёл до A и повернул назад, продолжив путь с той же скоростью навстречу первому. Через сколько часов они встретятся, если расстояние между A и B — 24 км?
Решение:
Время движения второго пешехода до A: $\frac{24}{6} = 4$ ч.
За это время первый прошёл: $2 \cdot 4 = 8$ км.
Расстояние между ними через 4 часа: $24 - 8 = 16$ км.
Скорость сближения: $2 + 6 = 8$ км/ч.
Время до встречи: $\frac{16}{8} = 2$ ч.
Общее время: $4 + 2 = 6$ ч.
Ответ: $\boxed{6}$. - Сторона квадрата на 5 см меньше длины прямоугольника и на 3 см больше его ширины. Периметр прямоугольника равен 24 см. Найдите площадь квадрата.
Решение:
Пусть сторона квадрата — $x$ см.
Длина прямоугольника: $x + 5$ см.
Ширина прямоугольника: $x - 3$ см.
Периметр:
$2((x + 5) + (x - 3)) = 24 \Rightarrow 2(2x + 2) = 24 \Rightarrow 4x + 4 = 24 \Rightarrow 4x = 20 \Rightarrow x = 5$.
Площадь квадрата: $5^2 = 25$ см$^2$.
Ответ: $\boxed{25}$. - Из одинаковых кубиков с ребром 4 см сложили большой куб. Затем Маша забрала половину всех кубиков. Серёжа пришёл после Маши и тоже забрал половину оставшихся. Вика забрала половину оставшихся после Серёжи, оставив на столе куб из 27 маленьких кубиков. Какой был размер первоначального куба?
Решение:
После Вики осталось 27 кубиков (куб 3x3x3).
До Вики было: $27 \cdot 2 = 54$ кубика.
До Серёжи: $54 \cdot 2 = 108$ кубиков.
Изначально: $108 \cdot 2 = 216$ кубиков.
Объём первоначального куба: $\sqrt[3]{216} = 6$.
Размер ребра: $6 \times 4 \, \text{см} = 24 \, \text{см}$ (неверно, т.к. размер куба в ребрах маленьких кубиков — 6, поэтому исходный куб был 6x6x6, высчитывается через количество кубиков: 6^3=216)
Ответ: $\boxed{6}$.
Материалы школы Юайти