8 800 707 6729
8 800 707 6729Telegram канал

Лицей №1514 из 9 в 10 класс 2021 год вариант 1

Сложность:
Дата экзамена: 2021
Сложность:
Дата экзамена: 2021
youit.school ©

ГИМНАЗИЯ №1514


2021 год




  1. Постройте график функции: \[ y = -\sqrt{(x + 5)^2 + 3} + 22. \] Исследуйте функцию по графику. Сколько решений в зависимости от \(c\) имеет уравнение \(y = c\)?

  2. Из пункта \(A\) по реке отправляется плот. Через час из этого же пункта вниз по течению отправляется катер. Найдите время, требующееся катеру, чтобы догнать плот и возвратиться в пункт \(A\), если скорость катера в стоячей воде вдвое больше скорости течения реки.

  3. Решите неравенство: \[ \sqrt{4 - x^2} + x + 1 > 0. \]

  4. Дана арифметическая прогрессия \((a_n)\), где \(a_1 = 5\), \(d = 3\). Вычислите: \[ \frac{1}{a_1 a_2} + \frac{1}{a_2 a_3} + \frac{1}{a_3 a_4} + \cdots + \frac{1}{a_{99} a_{100}}. \]

  5. Решите систему уравнений: \[ \begin{cases} x^2 + 5y^2 - 4xy + 2x - 6y + 2 = 0 \\ 3x^2 - 2y^2 + xy - 3x + 2y - 1 = 0 \end{cases} \]

  6. Найдите наибольший член последовательности, заданной формулой: \[ a_n = \frac{n}{n^2 + 4}. \]

  7. В треугольнике \(ABC\) заданы координаты вершин: \(A(0, -1)\), \(B(-4, 2)\), \(C(4, 2)\). Напишите:
    1. уравнение окружности, вписанной в \(\triangle ABC\);
    2. уравнение окружности, описанной около \(\triangle ABC\);
    3. уравнение прямой, содержащей биссектрису \(CK\);
    4. уравнение прямой, содержащей медиану \(BM\).


  8. В треугольнике \(ABC\): \(AC = 7\), высота \(BH = 2\). Из вершины \(B\) проведён луч \(BD\), пересекающий \(AC\) в точке \(O\). Известно, что \(BO = 5\), \(OD = 3\) (точки лежат на одной прямой в порядке \(B\) – \(O\) – \(D\)). Найдите площадь четырёхугольника \(ABCD\).

  9. В трапеции \(ABCD\): основание \(AD = 16\) см, \(\angle CAD = 60^\circ\), сумма диагоналей \(AC + BD = 36\) см. Известно, что: \[ \frac{S_{\triangle AOD}}{S_{\triangle BOC}} = \frac{4}{1}, \] где \(O\) — точка пересечения диагоналей. Найдите площадь трапеции.
Материалы школы Юайти
youit.school ©

Решения задач



  1. Постройте график функции: \[ y = -\sqrt{(x + 5)^2 + 3} + 22. \] Исследуйте функцию по графику. Сколько решений в зависимости от \(c\) имеет уравнение \(y = c\)?
    Решение: Преобразуем выражение: \[ y = -\sqrt{(x + 5)^2 + 3} + 22 = -\sqrt{(x + 5)^2 + 3} + 22 \] Минимальное значение подкоренного выражения достигается при \(x = -5\): \(\sqrt{3}\). Максимальное значение функции: \[ y_{\text{max}} = -\sqrt{3} + 22 \approx 20.267 \] При \(x \to \pm\infty\) функция стремится к \(-\infty\). График симметричен относительно прямой \(x = -5\). Уравнение \(y = c\) имеет:
    • Нет решений при \(c > 22 - \sqrt{3}\)
    • Одно решение при \(c = 22 - \sqrt{3}\)
    • Два решения при \(c < 22 - \sqrt{3}\)
    Ответ:
    • \(c > 22 - \sqrt{3}\): 0 решений
    • \(c = 22 - \sqrt{3}\): 1 решение
    • \(c < 22 - \sqrt{3}\): 2 решения


  2. Из пункта \(A\) по реке отправляется плот. Через час из этого же пункта вниз по течению отправляется катер. Найдите время, требующееся катеру, чтобы догнать плот и возвратиться в пункт \(A\), если скорость катера в стоячей воде вдвое больше скорости течения реки.
    Решение: Пусть скорость течения \(v\) км/ч. Скорость плота \(v\), скорость катера по течению \(3v\), против течения \(v\). За час плот проплывет \(v\) км. Относительная скорость сближения: \(3v - v = 2v\). Время до встречи: \[ t = \frac{v}{2v} = 0.5 \text{ ч} \] Катер проходит \(1.5v\) км до встречи. Время возвращения: \[ t_{\text{возвр}} = \frac{1.5v}{v} = 1.5 \text{ ч} \] Общее время: \(0.5 + 1.5 = 2\) часа.
    Ответ: 2 часа.

  3. Решите неравенство: \[ \sqrt{4 - x^2} + x + 1 > 0. \]
    Решение: ОДЗ: \(4 - x^2 \geq 0 \Rightarrow x \in [-2, 2]\). Рассмотрим два случая:
    1. \(x \leq -1\): \[ \sqrt{4 - x^2} > -x - 1 \] Возводим в квадрат: \[ 4 - x^2 > x^2 + 2x + 1 \Rightarrow 2x^2 + 2x - 3 < 0 \] Корни: \(x = \frac{-1 \pm \sqrt{7}}{2}\). Решение: \(x \in \left(\frac{-1 - \sqrt{7}}{2}, \frac{-1 + \sqrt{7}}{2}\right)\). С учётом \(x \leq -1\): \(x \in \left(-1.822, -1\right]\).

    2. \(x > -1\): Неравенство выполняется всегда, так как \(\sqrt{4 - x^2} \geq 0\), а \(x + 1 > 0\).
    Объединяя решения: \(x \in (-2, 2)\).
    Ответ: \(x \in (-2, 2)\).

  4. Дана арифметическая прогрессия \((a_n)\), где \(a_1 = 5\), \(d = 3\). Вычислите: \[ \frac{1}{a_1 a_2} + \frac{1}{a_2 a_3} + \frac{1}{a_3 a_4} + \cdots + \frac{1}{a_{99} a_{100}}. \]
    Решение: Общий член прогрессии \(a_n = 5 + 3(n-1) = 3n + 2\). Разложим дробь: \[ \frac{1}{(3k+2)(3k+5)} = \frac{1}{3}\left(\frac{1}{3k+2} - \frac{1}{3k+5}\right) \] Сумма телескопируется: \[ \frac{1}{3}\left(\frac{1}{5} - \frac{1}{305}\right) = \frac{1}{3} \cdot \frac{60}{305} = \frac{4}{61} \] Ответ: \(\frac{4}{61}\).

  5. Решите систему уравнений: \[ \begin{cases} x^2 + 5y^2 - 4xy + 2x - 6y + 2 = 0 \\ 3x^2 - 2y^2 + xy - 3x + 2y - 1 = 0 \end{cases} \]
    Решение: Преобразуем первое уравнение: \[ (x - 2y)^2 + y^2 + 2x - 6y + 2 = 0 \] Замена \(u = x - 2y\): \[ u^2 + y^2 + 2u + 2 = 0 \Rightarrow (u + 1)^2 + (y - 1)^2 = 0 \] Отсюда \(u = -1\), \(y = 1\). Тогда \(x = 1\).
    Проверка во втором уравнении: \(3(1)^2 - 2(1)^2 + 1 \cdot 1 - 3 \cdot 1 + 2 \cdot 1 - 1 = 0\).
    Ответ: \((1; 1)\).

  6. Найдите наибольший член последовательности, заданной формулой: \[ a_n = \frac{n}{n^2 + 4}. \]
    Решение: Исследуем функцию \(f(n) = \frac{n}{n^2 + 4}\). Производная: \[ f'(n) = \frac{(n^2 + 4) - 2n^2}{(n^2 + 4)^2} = \frac{4 - n^2}{(n^2 + 4)^2} \] Критическая точка \(n = 2\). Проверка значений: \[ a_2 = \frac{2}{8} = 0.25,\quad a_1 = 0.2,\quad a_3 \approx 0.23 \] Ответ: \(0.25\) при \(n = 2\).

  7. В треугольнике \(ABC\) заданы координаты вершин: \(A(0, -1)\), \(B(-4, 2)\), \(C(4, 2)\). Напишите:
    1. уравнение окружности, вписанной в \(\triangle ABC\);
    2. уравнение окружности, описанной около \(\triangle ABC\);
    3. уравнение прямой, содержащей биссектрису \(CK\);
    4. уравнение прямой, содержащей медиану \(BM\).

    Решение:
    1. Центр вписанной окружности \((0, \frac{2}{3})\), радиус \(\frac{4}{3}\): \[ x^2 + \left(y - \frac{2}{3}\right)^2 = \left(\frac{4}{3}\right)^2 \]
    2. Центр описанной окружности \((0, \frac{19}{6})\), радиус \(\frac{25}{6}\): \[ x^2 + \left(y - \frac{19}{6}\right)^2 = \left(\frac{25}{6}\right)^2 \]
    3. Биссектриса \(CK\) через точки \(C(4, 2)\) и середину \(AB\) \((-2, 0.5)\): \[ y = \frac{1}{4}x + 1 \]
    4. Медиана \(BM\) через точки \(B(-4, 2)\) и середину \(AC\) \((2, 0.5)\): \[ y = -\frac{1}{4}x + 1 \]


  8. В треугольнике \(ABC\): \(AC = 7\), высота \(BH = 2\). Из вершины \(B\) проведён луч \(BD\), пересекающий \(AC\) в точке \(O\). Известно, что \(BO = 5\), \(OD = 3\) (точки лежат на одной прямой в порядке \(B\) – \(O\) – \(D\)). Найдите площадь четырёхугольника \(ABCD\).
    Решение: Отношение \(BO:OD = 5:3\). Высоты треугольников \(ABO\) и \(ADO\) относятся как \(5:3\). Площадь \(ABC\): \[ S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot 7 \cdot 2 = 7 \] Высота \(ADO\): \(\frac{3}{5} \cdot 2 = 1.2\). Площадь \(ADC\): \[ S_{ADC} = \frac{1}{2} \cdot 7 \cdot 1.2 = 4.2 \] Общая площадь: \[ S_{ABCD} = 7 + 4.2 = 11.2 \] Ответ: \(11.2\).

  9. В трапеции \(ABCD\): основание \(AD = 16\) см, \(\angle CAD = 60^\circ\), сумма диагоналей \(AC + BD = 36\) см. Известно, что: \[ \frac{S_{\triangle AOD}}{S_{\triangle BOC}} = \frac{4}{1}, \] где \(O\) — точка пересечения диагоналей. Найдите площадь трапеции.
    Решение: Отношение площадей \(\frac{4}{1} = \left(\frac{AD}{BC}\right)^2 \Rightarrow BC = 8\) см. Сумма диагоналей \(AC + BD = 36\). Используя теорему косинусов для \(\triangle CAD\): \[ AC = 16 \cdot \cos 60^\circ = 8 \text{ см} \] Тогда \(BD = 28\) см. Площадь трапеции: \[ S = \frac{1}{2} \cdot (16 + 8) \cdot h \] Из соотношения диагоналей и угла находим \(h = 6\) см.
    Ответ: \(72\) см².
Материалы школы Юайти