8 800 707 6729
8 800 707 6729Telegram канал

Лицей №1514 из 8 в 9 класс 2021 год вариант 2

Сложность:
Дата экзамена: 2021
Сложность:
Дата экзамена: 2021
youit.school ©

ГИМНАЗИЯ №1514


2021 год


Вариант 2



  1. Вычислите: \[ \dfrac{1}{3} + \dfrac{5}{2} + \dfrac{1}{5} - \dfrac{2}{3} - \dfrac{2}{5} + \dfrac{15}{2} \]

  2. Упростите выражение: \[ \left( \dfrac{1}{a} + \dfrac{3}{2a} + \dfrac{1}{a} \right) : \left( \dfrac{3a - 2}{a^2 - 1} - \dfrac{1}{a - 1} \right) \]

  3. Решите уравнения:
    1. \[ \frac{0}{x} = \frac{13x^2 + 20}{3x^2 + 45x + 32} \]
    2. \[ (x - 1)(x + 3)(x - 2)(x + 4) = (x + 1)(x - 3)(x + 2)(x - 4) \]


  4. Решите систему неравенств: \[ \begin{cases} \dfrac{x + 1}{2} - \dfrac{x + 2}{3} < \dfrac{x + 12}{6} \\ 0.3x - 19 \leq 1.7x - 5 \end{cases} \]

  5. Решите неравенство и укажите наименьшее целое решение: \[ |3x - 4| \leq 2x - 3 \]

  6. Задача: Первая машина перевозит груз на 3 часа быстрее, чем вторая. Если треть груза перевезёт первая, а остальное — вторая, это займёт на \( \dfrac{1}{7} \) ч больше, чем если бы они работали вместе. За сколько часов каждая перевозит весь груз?

  7. Постройте график функции: \[ y = \dfrac{x^2 - 2x + 4}{x + 2} \]

  8. Про числа \(x\) и \(y\) известно: \[ -4 < x - \dfrac{1}{2} < -\dfrac{9}{2}, \quad -2 < y < 0{,}4 \] Какие целочисленные значения может принимать выражение \( \dfrac{5y}{2x} \)?

  9. Сумма двух положительных чисел равна 5. Какими должны быть эти числа, чтобы произведение одного из них, увеличенного на 3, и второго было наибольшим? Чему равно это произведение?

  10. Параметрическое уравнение: \[ 2(a - 1)x^2 + (2a - 3)x + a = 0 \] Найдите все значения параметра \(a\), при которых:
    1. уравнение имеет два различных действительных корня;
    2. оба корня положительны.
Материалы школы Юайти
youit.school ©

Решения задач



  1. Вычислите: \[ \dfrac{1}{3} + \dfrac{5}{2} + \dfrac{1}{5} - \dfrac{2}{3} - \dfrac{2}{5} + \dfrac{15}{2} \] Решение: Сгруппируем слагаемые с одинаковыми знаменателями: \[ \left(\dfrac{1}{3} - \dfrac{2}{3}\right) + \left(\dfrac{5}{2} + \dfrac{15}{2}\right) + \left(\dfrac{1}{5} - \dfrac{2}{5}\right) = \] \[ = \left(-\dfrac{1}{3}\right) + \dfrac{20}{2} + \left(-\dfrac{1}{5}\right) = -\dfrac{1}{3} + 10 - \dfrac{1}{5} = \] \[ = 10 - \left(\dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{5}\right) = 10 - \dfrac{8}{15} = 9\dfrac{7}{15} = \dfrac{142}{15} \] Ответ: $\dfrac{142}{15}$.

  2. Упростите выражение: \[ \left( \dfrac{1}{a} + \dfrac{3}{2a} + \dfrac{1}{a} \right) : \left( \dfrac{3a - 2}{a^2 - 1} - \dfrac{1}{a - 1} \right) \] Решение: Упростим числитель: \[ \dfrac{1}{a} + \dfrac{3}{2a} + \dfrac{1}{a} = \dfrac{2}{a} + \dfrac{3}{2a} = \dfrac{7}{2a} \] Упростим знаменатель: \[ \dfrac{3a - 2}{(a - 1)(a + 1)} - \dfrac{1}{a - 1} = \dfrac{3a - 2 - (a + 1)}{(a - 1)(a + 1)} = \dfrac{2a - 3}{(a - 1)(a + 1)} \] Разделим числитель на знаменатель: \[ \dfrac{7}{2a} : \dfrac{2a - 3}{(a - 1)(a + 1)} = \dfrac{7(a - 1)(a + 1)}{2a(2a - 3)} \] Ответ: $\dfrac{7(a^2 - 1)}{2a(2a - 3)}$.

  3. Решите уравнения:
    1. [а)] \[ \frac{0}{x} = \frac{13x^2 + 20}{3x^2 + 45x + 32} \] Решение: Левая часть равна 0 при $x \neq 0$. Приравняем числитель правой части к нулю: \[ 13x^2 + 20 = 0 \Rightarrow x^2 = -\dfrac{20}{13} \Rightarrow \text{нет действительных решений} \] Ответ: Нет решений.

    2. [б)] \[ (x - 1)(x + 3)(x - 2)(x + 4) = (x + 1)(x - 3)(x + 2)(x - 4) \] Решение: Перепишем уравнение: \[ [(x - 1)(x - 2)][(x + 3)(x + 4)] = [(x + 1)(x + 2)][(x - 3)(x - 4)] \] Раскроем скобки: \[ (x^2 - 3x + 2)(x^2 + 7x + 12) = (x^2 + 3x + 2)(x^2 - 7x + 12) \] Перенесем все в левую часть и упростим: \[ (x^2 - 3x + 2)(x^2 + 7x + 12) - (x^2 + 3x + 2)(x^2 - 7x + 12) = 0 \] После раскрытия и сокращения получим: \[ 20x^3 - 40x = 0 \Rightarrow 20x(x^2 - 2) = 0 \Rightarrow x = 0, \ x = \sqrt{2}, \ x = -\sqrt{2} \] Ответ: $0, \ \sqrt{2}, \ -\sqrt{2}$.


  4. Решите систему неравенств: \[ \begin{cases} \dfrac{x + 1}{2} - \dfrac{x + 2}{3} < \dfrac{x + 12}{6} \\ 0.3x - 19 \leq 1.7x - 5 \end{cases} \] Решение: Первое неравенство: \[ 3(x + 1) - 2(x + 2) < x + 12 \Rightarrow 3x + 3 - 2x - 4 < x + 12 \Rightarrow -1 < 12 \Rightarrow \text{верно для всех } x \] Второе неравенство: \[ 0.3x - 19 \leq 1.7x - 5 \Rightarrow -14 \leq 1.4x \Rightarrow x \geq -10 \] Ответ: $x \in [-10, +\infty)$.

  5. Решите неравенство и укажите наименьшее целое решение: \[ |3x - 4| \leq 2x - 3 \] Решение: Рассмотрим два случая:
    1. $3x - 4 \geq 0 \Rightarrow x \geq \dfrac{4}{3}$: \[ 3x - 4 \leq 2x - 3 \Rightarrow x \leq 1 \quad \text{(противоречит условию)} \]
    2. $3x - 4 < 0 \Rightarrow x < \dfrac{4}{3}$: \[ -3x + 4 \leq 2x - 3 \Rightarrow 7 \leq 5x \Rightarrow x \geq \dfrac{7}{5} \]
    Объединяя решения: $\dfrac{7}{5} \leq x < \dfrac{4}{3}$. Наименьшее целое решение: 2. Ответ: 2.

  6. Задача: Первая машина перевозит груз на 3 часа быстрее, чем вторая. Если треть груза перевезёт первая, а остальное — вторая, это займёт на $ \dfrac{1}{7} $ ч больше, чем если бы они работали вместе. За сколько часов каждая перевозит весь груз?
    Решение: Пусть первая машина перевозит груз за $t$ часов, тогда вторая за $t + 3$ часов. Производительности: $\dfrac{1}{t}$ и $\dfrac{1}{t + 3}$. Совместная работа: \[ \dfrac{1}{\dfrac{1}{t} + \dfrac{1}{t + 3}} = \dfrac{t(t + 3)}{2t + 3} \] Комбинированная работа: \[ \dfrac{1}{3} \cdot t + \dfrac{2}{3} \cdot (t + 3) = \dfrac{t}{3} + \dfrac{2t + 6}{3} = t + 2 \] Уравнение: \[ t + 2 = \dfrac{t(t + 3)}{2t + 3} + \dfrac{1}{7} \] Решая уравнение, получим $t = 3$ часа для первой машины и $6$ часов для второй. Ответ: 3 ч и 6 ч.

  7. Постройте график функции: \[ y = \dfrac{x^2 - 2x + 4}{x + 2} \] Решение: Выделим целую часть: \[ y = x - 4 + \dfrac{12}{x + 2} \] График имеет:
    • Вертикальную асимптоту: $x = -2$
    • Наклонную асимптоту: $y = x - 4$
    • Точки пересечения с осями: $(0; 2)$, $(2; 0)$


  8. Про числа $x$ и $y$ известно: \[ -4 < x - \dfrac{1}{2} < -\dfrac{9}{2}, \quad -2 < y < 0{,}4 \] Решение: Преобразуем неравенства: \[ -\dfrac{7}{2} < x < -\dfrac{8}{2} \Rightarrow -3.5 < x < -4 \quad \text{(ошибка в условии, противоречие)} \] Вероятно, опечатка в условии. Предположим правильный вид: \[ -4.5 < x - 0.5 < -2 \Rightarrow -4 < x < -1.5 \] Тогда выражение $\dfrac{5y}{2x}$: \[ \dfrac{5(-2)}{2(-1.5)} = \dfrac{10}{3} \approx 3.33; \quad \dfrac{5(0.4)}{2(-4)} = -0.25 \] Целочисленные значения: $-0.25 < k < 3.33 \Rightarrow k = 0, 1, 2, 3$. Ответ: 0, 1, 2, 3.

  9. Сумма двух положительных чисел равна 5. Какими должны быть эти числа, чтобы произведение одного из них, увеличенного на 3, и второго было наибольшим?
    Решение: Пусть числа $a$ и $5 - a$. Рассмотрим функцию: \[ f(a) = (a + 3)(5 - a) = -a^2 + 2a + 15 \] Вершина параболы при $a = 1$. Максимальное значение $f(1) = 16$. Ответ: 1 и 4; максимальное произведение 16.

  10. Параметрическое уравнение: \[ 2(a - 1)x^2 + (2a - 3)x + a = 0 \]
    1. [а)] Два различных действительных корня: \[ D = (2a - 3)^2 - 8(a - 1)a = 4a^2 - 12a + 9 - 8a^2 + 8a = -4a^2 - 4a + 9 > 0 \] Решаем неравенство: \[ -4a^2 - 4a + 9 > 0 \Rightarrow a \in \left(-\dfrac{3}{2}, \dfrac{3}{2}\right) \] Учитывая $a \neq 1$. Ответ: $a \in \left(-\dfrac{3}{2}, 1\right) \cup \left(1, \dfrac{3}{2}\right)$.

    2. [б)] Оба корня положительны: \[ \begin{cases} x_1 + x_2 = \dfrac{3 - 2a}{2(a - 1)} > 0 \\ x_1x_2 = \dfrac{a}{2(a - 1)} > 0 \end{cases} \] Решая систему, получим $a \in (0, 1)$.
Материалы школы Юайти