Лицей №1514 из 8 в 9 класс 2021 год вариант 1
youit.school ©
ГИМНАЗИЯ №1514
2021 год
Вариант 1
- Вычислите:
\[
\dfrac{1}{7} + \dfrac{5}{15} + \dfrac{1}{5} - \dfrac{3}{3} - \dfrac{15}{5} + \dfrac{3}{5}
\]
- Упростите выражение:
\[
\left( \dfrac{8x - 6x^2 - 1}{x^2 - x - 1} \right) : \left( \dfrac{x^2 - 3x + 2}{x^2 + x - 6} - \dfrac{x^2 - x - 1}{x^2 - 1} \right)
\]
- Решите уравнения:
- \[ \frac{4}{x} - \frac{1}{x + 2} = \frac{13x^2 + 20}{3x^2 + 45x + 32} \]
- \[ (x - 1)(x + 2)(x - 3)(x + 6) = (x + 1)(x - 2)(x + 3)(x - 6) \]
- Решите систему неравенств:
\[
\begin{cases}
\dfrac{2x + 1}{3} - 3 < x - \dfrac{3 - 2x}{5} \\
\dfrac{x}{3} - \dfrac{6}{7} < \dfrac{5x}{3} - \dfrac{11}{6}
\end{cases}
\]
- Решите неравенство и укажите наибольшее целое решение:
\[
|2x - 3| \geq 2x - 2
\]
- Задача:
Первому слесарю требуется на 7 часов больше, чем второму. После того как оба выполнили половину задания, работу завершал только второй. В результате работа была выполнена на 4.5 ч позже, чем если бы они выполняли её вместе. За сколько часов может выполнить работу каждый слесарь?
- Постройте график функции:
\[
y = \dfrac{x^2 - 3x + 3}{x + 1}
\]
- Про числа \(a\) и \(b\) известно:
\[
2 < 4a - 2 < 4, \quad \text{и} \quad 0 < b < \dfrac{1}{0{,}3 \cdot 7}
\]
Какие целые значения может принимать величина \( \dfrac{2a}{3b} \)?
- Сумма двух положительных чисел равна 7. Какими должны быть эти числа, чтобы произведение одного из них, уменьшенного на 5, и второго было наибольшим? Чему равно это произведение?
- Параметрическое уравнение:
\[
4(a - 1)x^2 + (2a + 1)x + a - 1 = 0
\]
Найдите все значения \(a\), при которых:
- уравнение имеет два различных действительных корня;
- оба корня отрицательны.
Материалы школы Юайти
youit.school ©
Решения задач
- Вычислите:
\[
\dfrac{1}{7} + \dfrac{5}{15} + \dfrac{1}{5} - \dfrac{3}{3} - \dfrac{15}{5} + \dfrac{3}{5}
\]
Решение:
\[
\dfrac{1}{7} + \dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{5} - 1 - 3 + \dfrac{3}{5} = \dfrac{1}{7} + \dfrac{1}{3} + \dfrac{4}{5} - 4
\]
Приведём к общему знаменателю 105:
\[
\dfrac{15}{105} + \dfrac{35}{105} + \dfrac{84}{105} - \dfrac{420}{105} = \dfrac{-286}{105}
\]
Ответ: \(-\dfrac{286}{105}\).
- Упростите выражение:
\[
\left( \dfrac{8x - 6x^2 - 1}{x^2 - x - 1} \right) : \left( \dfrac{x^2 - 3x + 2}{x^2 + x - 6} - \dfrac{x^2 - x - 1}{x^2 - 1} \right)
\]
Решение:
Упростим делитель:
\[
\dfrac{(x-1)(x-2)}{(x+3)(x-2)} - \dfrac{x^2 - x - 1}{(x-1)(x+1)} = \dfrac{x-1}{x+3} - \dfrac{x^2 - x - 1}{(x-1)(x+1)}
\]
После преобразований:
\[
\dfrac{-3x^2 + 3x + 4}{(x+3)(x-1)(x+1)}
\]
Итоговое выражение:
\[
\dfrac{-6x^2 + 8x - 1}{x^2 - x - 1} \cdot \dfrac{(x+3)(x-1)(x+1)}{-3x^2 + 3x + 4} = \dfrac{(6x^2 - 8x + 1)(x+3)}{3x^2 - 3x - 4}
\]
Ответ: \(\dfrac{(6x^2 - 8x + 1)(x+3)}{3x^2 - 3x - 4}\).
- Решите уравнения:
-
\[
\frac{4}{x} - \frac{1}{x + 2} = \frac{13x^2 + 20}{3x^2 + 45x + 32}
\]
Решение:
После преобразований получим уравнение:
\[
13x^4 + 17x^3 - 139x^2 - 416x - 256 = 0
\]
Корни: \(x = -1\) (проверка подстановкой).
Ответ: решений нет.
- \[ (x - 1)(x + 2)(x - 3)(x + 6) = (x + 1)(x - 2)(x + 3)(x - 6) \] Решение: После упрощения: \[ 8x(x^2 - 6) = 0 \Rightarrow x = 0, \pm\sqrt{6} \] Ответ: \(0, \sqrt{6}, -\sqrt{6}\).
-
\[
\frac{4}{x} - \frac{1}{x + 2} = \frac{13x^2 + 20}{3x^2 + 45x + 32}
\]
Решение:
После преобразований получим уравнение:
\[
13x^4 + 17x^3 - 139x^2 - 416x - 256 = 0
\]
Корни: \(x = -1\) (проверка подстановкой).
Ответ: решений нет.
- Решите систему неравенств:
\[
\begin{cases}
\dfrac{2x + 1}{3} - 3 < x - \dfrac{3 - 2x}{5} \\
\dfrac{x}{3} - \dfrac{6}{7} -\dfrac{31}{11}
\]
Второе неравенство:
\[
x > \dfrac{41}{56}
\]
Ответ: \(x > \dfrac{41}{56}\).
- Решите неравенство и укажите наибольшее целое решение:
\[
|2x - 3| \geq 2x - 2
\]
Решение:
При \(x < 1.5\) неравенство выполняется для \(x \leq 1.25\).
Ответ: \(1\).
- Задача:
Первому слесарю требуется на 7 часов больше, чем второму. После того как оба выполнили половину задания, работу завершал только второй. В результате работа была выполнена на 4.5 ч позже, чем если бы они выполняли её вместе. За сколько часов может выполнить работу каждый слесарь?
Решение:
Пусть второй слесарь работает за \(t\) часов, тогда первый за \(t + 7\). Уравнение:
\[
\dfrac{t(t + 7)}{2(2t + 7)} + \dfrac{t}{2} - \dfrac{t(t + 7)}{2t + 7} = 4.5
\]
Решение: \(t = 21\) ч (второй), \(28\) ч (первый).
Ответ: \(21\) ч и \(28\) ч.
- Постройте график функции:
\[
y = \dfrac{x^2 - 3x + 3}{x + 1}
\]
Решение:
Преобразуем:
\[
y = x - 4 + \dfrac{7}{x + 1}
\]
Асимптоты: \(x = -1\), \(y = x - 4\). Пересечение с осью \(y\): \((0, 3)\).
- Про числа \(a\) и \(b\) известно:
\[
2 < 4a - 2 < 4, \quad \text{и} \quad 0 < b < \dfrac{1}{0{,}3 \cdot 7}
\]
Решение:
\(1 < a < 1.5\), \(0 < b < \dfrac{10}{21}\). Величина \(\dfrac{2a}{3b}\) может принимать целые значения \(2, 3, 4, \ldots\)
Ответ: \(2, 3, 4, \ldots\)
- Сумма двух положительных чисел равна 7. Какими должны быть эти числа, чтобы произведение одного из них, уменьшенного на 5, и второго было наибольшим?
Решение:
Пусть числа \(a\) и \(7 - a\). Произведение:
\[
(a - 5)(7 - a) = -a^2 + 12a - 35
\]
Максимум при \(a = 6\), \(b = 1\). Произведение: \(1\).
Ответ: \(6\) и \(1\), произведение \(1\).
- Параметрическое уравнение:
\[
4(a - 1)x^2 + (2a + 1)x + a - 1 = 0
\]
- Уравнение имеет два различных действительных корня при \(a \in (0.5; 1) \cup (1; 2.5)\).
- Оба корня отрицательны при \(a \in (0.5; 1) \cup (1; 2.5)\).
Материалы школы Юайти