8 800 707 6729
8 800 707 6729Telegram канал

Лицей №1514 из 7 в 8 класс 2021 год вариант 2

Сложность:
Дата экзамена: 2021
Печать
youit.school ©

ГИМНАЗИЯ №1514


2021


Вариант 2



  1. Разложите на неразложимые множители:
    1. \( n^3 - n^2 - n + 1 \)
    2. \( z^2 u^2 - z u + 1 \)
    3. \( x a - x + a \)


  2. Решите уравнения:
    1. \[ \left( x^2 - 2016 \right) \cdot (x - 2)^2 = \left( x^2 - 2016 \right) \cdot (x + 2)^2 \]
    2. \[ \frac{2x - 4}{x - 5} - \frac{3x + 2}{x + 1} = \frac{4x + 1}{x^2 - 4x - 5} \]


  3. Прямая \(l\) задана уравнением: \[ y = k(x - 1) + kb \] Прямая \(m\) — уравнением: \[ x = b(y - 2) + 8 \] Найдите \(k\) и \(b\), если известно, что \(m\) и \(l\) пересекаются на оси \(Ox\), а прямая \(l\) пересекает прямую \(y = 2x + 2\) на оси \(Oy\).

  4. Саша и Дима выехали одновременно. Саша ехал из A в B, а Дима — из B в A. Они встретились, когда:
    • Саша проехал 10 км и ещё \( \dfrac{1}{4} \) оставшегося до B пути;
    • Дима проехал 20 км и ещё \( \dfrac{1}{3} \) оставшегося до A пути.
    1. Найдите расстояние AB.
    2. Дима проехал весь путь за 4 часа. За сколько часов проехал весь путь Саша?


  5. [*] Докажите, что число \[ (49924 \cdot 772 - 3499)^2 \] делится на 15.

  6. [*] Докажите, что число \[ 2500 + 2017 \cdot 2117 \] является квадратом натурального числа.

  7. [*] Для чисел \(a, b, c\) выполняется: \[ (a + b)(a + b + c) = 5, \quad (b + c)(b + c + a) = 6, \quad (a + c)(a + c + b) = 7 \] Найдите \(a + b + c\)^2.

  8. [Доп.] Из натуральных чисел от 1 до 100 удалили произвольные 8 чисел. Обязательно ли среди оставшихся можно выбрать 8 различных чисел, чтобы их сумма была равна 100?
Материалы школы Юайти
youit.school ©

Решения задач



  1. Разложите на неразложимые множители:
    1. \( n^3 - n^2 - n + 1 \)
      Решение: Группируем слагаемые:
      \( n^3 - n^2 - n + 1 = n^2(n - 1) - 1(n - 1) = (n - 1)(n^2 - 1) = (n - 1)^2(n + 1) \)
      Ответ: \((n - 1)^2(n + 1)\).

    2. \( z^2 u^2 - z u + 1 \)
      Решение: Рассмотрим как квадратный трёхчлен относительно \(zu\):
      Дискриминант \(D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = -3 < 0\), значит, многочлен не разлагается на множители с действительными коэффициентами.
      Ответ: \(z^2 u^2 - z u + 1\) (неразложим).

    3. \( x a - x + a \)
      Решение: Вынесем общий множитель:
      \(x(a - 1) + a\). Дальнейшее разложение невозможно.
      Ответ: \(x(a - 1) + a\) (неразложим).


  2. Решите уравнения:
    1. \[ \left( x^2 - 2016 \right) \cdot (x - 2)^2 = \left( x^2 - 2016 \right) \cdot (x + 2)^2 \]
      Решение: Переносим все слагаемые влево и выносим общий множитель:
      \((x^2 - 2016)\left[(x - 2)^2 - (x + 2)^2\right] = 0\)
      Раскрываем разность квадратов:
      \((x^2 - 2016)(-8x) = 0\)
      Корни: \(x = 0\), \(x = \pm \sqrt{2016}\).
      Ответ: \(0\), \(\pm \sqrt{2016}\).

    2. \[ \frac{2x - 4}{x - 5} - \frac{3x + 2}{x + 1} = \frac{4x + 1}{x^2 - 4x - 5} \]
      Решение: Приводим к общему знаменателю \((x - 5)(x + 1)\):
      \(\frac{(2x - 4)(x + 1) - (3x + 2)(x - 5)}{(x - 5)(x + 1)} = \frac{4x + 1}{(x - 5)(x + 1)}\)
      Упрощаем числитель:
      \(-x^2 + 7x + 5 = 0\)
      Корни: \(x = \frac{7 \pm \sqrt{69}}{2}\) (проверка исключает \(x = 5\) и \(x = -1\)).
      Ответ: \(\frac{7 \pm \sqrt{69}}{2}\).


  3. Прямые \(l\) и \(m\):
    Решение:
    • Уравнение \(l\): \(y = kx + k(b - 1)\)
    • Уравнение \(m\): \(y = \frac{x + 2b - 8}{b}\)
    Условия:
    • Пересечение \(l\) с \(y = 2x + 2\) на \(Oy\): \(k(b - 1) = 2\)
    • Пересечение \(l\) и \(m\) на \(Ox\): \(-(b - 1) = -2b + 8 \Rightarrow b = 7\), \(k = \frac{1}{3}\)
    Ответ: \(k = \frac{1}{3}\), \(b = 7\).

  4. Расстояние и время:
    1. Пусть \(AB = S\):
      Уравнение: \(10 + \frac{S - 10}{4} + 20 + \frac{S - 20}{3} = S\)
      Решение: \(S = 50\) км.
      Ответ: 50 км.

    2. Скорость Димы: \(12.5\) км/ч. Время встречи: \(2.4\) ч. Скорость Саши: \(\frac{25}{3}\) км/ч. Время: \(6\) ч.
      Ответ: 6 часов.


  5. [*] Делимость на 15:
    Решение: Проверка по модулям 3 и 5 показывает, что выражение \((49924 \cdot 772 - 3499)\) делится на 3, но не на 5. Условие задачи требует уточнения.

  6. [*] Квадрат натурального числа:
    Решение: \(2500 + 2017 \cdot 2117 = 2067^2\).
    Ответ: \(2067^2\).

  7. [*] Значение \((a + b + c)^2\):
    Решение: Суммируем уравнения:
    \(2(a + b + c)^2 = 18 \Rightarrow (a + b + c)^2 = 9\).
    Ответ: 9.

  8. [Доп.] Сумма 100:
    Ответ: Да, обязательно. Принцип Дирихле гарантирует существование такой комбинации после удаления 8 чисел.
Материалы школы Юайти