8 800 707 6729
8 800 707 6729Telegram канал

Лицей №1514 из 7 в 8 класс 2021 год вариант 1-1

Сложность:
Дата экзамена: 2021
Печать
youit.school ©

ГИМНАЗИЯ №1514


2021



  1. Какое число больше: \[ A = \frac{(710 - 79 - 78)^2}{41 \cdot 498} \quad \text{или} \quad B = 53792 - 5378 \cdot 5380? \]

  2. Разложите на неразложимые множители:
    1. \( \dfrac{4m^3 + m^2 + m}{16} \)
    2. \( b(3b - 2a)^2 + a(2a - 3b)(2b - a) \)
    3. \( y^3 - 3y^2 + 6y - 8 \)


  3. Решите уравнение:
    1. \( \dfrac{x - 7}{3} \cdot 5 = \dfrac{7}{1.4} \cdot x + 9x \)
    2. \( \dfrac{2x - 3}{5} + \dfrac{5x + 1}{20} = 3 - x - \dfrac{x - 1}{4} \)
    3. \( (2x + 1)(4x^2 - 2x + 1) - 4x(2x^2 - 1) = 5x - 2 \)


  4. Решите задачу:

    Первый сплав содержит 5% меди, второй — 13% меди. Масса второго сплава больше массы первого на 4 кг. Из этих двух сплавов получили третий сплав, содержащий 10% меди. Найдите массу третьего сплава.

  5. Запишите уравнение прямой, проходящей через точку пересечения прямых \(2x + y = 0\) и \(x - y = -3\), и параллельной графику уравнения: \[ 7(y - x + 1) - x = 3(2x + 1) \]

  6. [*] Решите одно задание по выбору:
    1. Система уравнений \[ \begin{cases} ax + by = 11 \\ (b + 1)x - ay = 9 \end{cases} \] имеет решение (2; 1). Найдите числа \(a\) и \(b\).

    2. Вася задумал три различные цифры, отличные от нуля. Петя записал всевозможные двузначные числа, в десятичной записи которых использовались только эти цифры. Сумма всех записанных чисел равна 231. Найдите цифры, задуманные Васей.


Часть II. Геометрия



  1. Прямые \(AB\) и \(CD\) параллельны, а прямые \(AC\) и \(BD\) — не параллельны (см. рисунок). Известно, что: \[ \angle ACB = 27^\circ, \quad \angle CAB = 105^\circ \] Найдите \(\angle BCD\).


  2. В прямоугольном треугольнике \(ABC\) с прямым углом \(C\) сторону \(AC\) продлили за точку \(C\) на её собственную длину до точки \(D\). Известно, что \(\angle ABD = 120^\circ\).
    1. Найдите углы треугольника \(ABC\).
    2. Через точку \(D\) провели прямую, параллельную \(AB\), а через точку \(B\) — прямую, параллельную \(AD\). Эти прямые пересеклись в точке \(E\). Найдите длину отрезка \(BE\), если \(AC = 7\) см.


  3. [*] В треугольнике \(ABC\) биссектрисы \(AA_1\) и \(BB_1\) пересекаются в точке \(M\), при этом: \[ \angle AMB = 120^\circ \] Найдите \(\angle C\).
Материалы школы Юайти
youit.school ©

Решения задач



  1. Какое число больше: \[ A = \frac{(710 - 79 - 78)^2}{41 \cdot 498} \quad \text{или} \quad B = 53792 - 5378 \cdot 5380? \] Решение:
    Вычислим числитель для A:
    $710 - 79 - 78 = 553$
    Знаменатель: $41 \cdot 498 = 41 \cdot (500 - 2) = 20500 - 82 = 20418$
    Тогда $A = \frac{553^2}{20418} \approx \frac{305809}{20418} \approx 14,98$
    Для B:
    $5378 \cdot 5380 = (5379 - 1)(5379 + 1) = 5379^2 - 1$
    Тогда $B = 53792 - (5379^2 - 1) = 53792 - 5379^2 + 1 = (5379 \cdot 10 + 2) - 5379^2 + 1 = -5379^2 + 53790 + 3$
    Очевидно, B отрицательно, а A положительно. Следовательно, $A > B$.
    Ответ: $A > B$.

  2. Разложите на неразложимые множители:
    1. \( \dfrac{4m^3 + m^2 + m}{16} \)
      Решение:
      Вынесем общий множитель m:
      $\frac{m(4m^2 + m + 1)}{16}$
      Квадратный трёхчлен $4m^2 + m + 1$ не имеет действительных корней (D = 1 - 16 = -15), поэтому дальнейшее разложение невозможно.
      Ответ: $\frac{m(4m^2 + m + 1)}{16}$.

    2. \( b(3b - 2a)^2 + a(2a - 3b)(2b - a) \)
      Решение:
      Заметим, что $(3b - 2a) = -(2a - 3b)$:
      $b(2a - 3b)^2 + a(2a - 3b)(2b - a) = (2a - 3b)(b(2a - 3b) + a(2b - a))$
      Упростим выражение в скобках:
      $2ab - 3b^2 + 2ab - a^2 = 4ab - 3b^2 - a^2$
      Ответ: $(2a - 3b)(4ab - 3b^2 - a^2)$.

    3. \( y^3 - 3y^2 + 6y - 8 \)
      Решение:
      Подбором находим корень $y = 2$:
      $2^3 - 3 \cdot 2^2 + 6 \cdot 2 - 8 = 0$
      Делим многочлен на $(y - 2)$:
      $(y - 2)(y^2 - y + 4)$
      Квадратный трёхчлен $y^2 - y + 4$ не имеет действительных корней (D = 1 - 16 = -15).
      Ответ: $(y - 2)(y^2 - y + 4)$.


  3. Решите уравнение:
    1. \( \dfrac{x - 7}{3} \cdot 5 = \dfrac{7}{1.4} \cdot x + 9x \)
      Решение:
      Упростим правую часть:
      $\frac{7}{1,4} = 5 \Rightarrow 5x + 9x = 14x$
      Уравнение принимает вид:
      $\frac{5(x - 7)}{3} = 14x \quad \Big| \cdot 3$
      $5x - 35 = 42x \Rightarrow -35 = 37x \Rightarrow x = -\frac{35}{37}$
      Ответ: $-\frac{35}{37}$.

    2. \( \dfrac{2x - 3}{5} + \dfrac{5x + 1}{20} = 3 - x - \dfrac{x - 1}{4} \)
      Решение:
      Умножим все члены на 20:
      $4(2x - 3) + 5x + 1 = 60 - 20x - 5(x - 1)$
      Раскроем скобки:
      $8x - 12 + 5x + 1 = 60 - 20x - 5x + 5$
      Упростим:
      $13x - 11 = 65 - 25x \Rightarrow 38x = 76 \Rightarrow x = 2$
      Ответ: 2.

    3. \( (2x + 1)(4x^2 - 2x + 1) - 4x(2x^2 - 1) = 5x - 2 \)
      Решение:
      Раскроем скобки:
      $8x^3 - 4x^2 + 2x + 4x^2 - 2x + 1 - 8x^3 + 4x = 5x - 2$
      Упростим:
      $4x + 1 = 5x - 2 \Rightarrow x = 3$
      Ответ: 3.


  4. Решите задачу:
    Первый сплав содержит 5% меди, второй — 13% меди. Масса второго сплава больше массы первого на 4 кг. Из этих двух сплавов получили третий сплав, содержащий 10% меди. Найдите массу третьего сплава.
    Решение:
    Пусть масса первого сплава $x$ кг, тогда второго — $(x + 4)$ кг. Уравнение для меди:
    $0,05x + 0,13(x + 4) = 0,10(2x + 4)$
    Решение:
    $0,18x + 0,52 = 0,20x + 0,40 \Rightarrow 0,02x = 0,12 \Rightarrow x = 6$
    Масса третьего сплава: $2 \cdot 6 + 4 = 16$ кг.
    Ответ: 16 кг.

  5. Запишите уравнение прямой, проходящей через точку пересечения прямых \(2x + y = 0\) и \(x - y = -3\), и параллельной графику уравнения: \[ 7(y - x + 1) - x = 3(2x + 1) \] Решение:
    Найдём точку пересечения:
    Из второго уравнения: $x = y - 3$. Подставим в первое:
    $2(y - 3) + y = 0 \Rightarrow y = 2$, $x = -1$
    Упростим уравнение для параллельной прямой:
    $7(y - x + 1) - x = 6x + 3 \Rightarrow 7y = 14x - 4 \Rightarrow y = 2x - \frac{4}{7}$
    Уравнение искомой прямой: $y = 2x + b$. Подставим $(-1, 2)$:
    $2 = -2 + b \Rightarrow b = 4$
    Ответ: $y = 2x + 4$.

  6. [*] Решите одно задание по выбору:
    1. Система уравнений \[ \begin{cases} ax + by = 11 \\ (b + 1)x - ay = 9 \end{cases} \] имеет решение (2; 1). Найдите числа \(a\) и \(b\).
      Решение:
      Подставим $x = 2$, $y = 1$:
      $2a + b = 11$
      $(b + 1) \cdot 2 - a = 9 \Rightarrow 2b + 2 - a = 9 \Rightarrow -a + 2b = 7$
      Решаем систему:
      $\begin{cases} 2a + b = 11 \\ -a + 2b = 7 \end{cases}$
      Умножим второе уравнение на 2 и сложим:
      $5b = 25 \Rightarrow b = 5$, тогда $a = 3$
      Ответ: $a = 3$, $b = 5$.


  7. Прямые \(AB\) и \(CD\) параллельны, а прямые \(AC\) и \(BD\) — не параллельны. Известно, что: \[ \angle ACB = 27^\circ, \quad \angle CAB = 105^\circ \] Найдите \(\angle BCD\).
    Решение:
    В треугольнике $ABC$:
    $\angle ABC = 180^\circ - 105^\circ - 27^\circ = 48^\circ$
    Так как $AB \parallel CD$, то $\angle BCD = \angle ABC = 48^\circ$ (накрест лежащие углы)
    Ответ: $48^\circ$.

  8. В прямоугольном треугольнике \(ABC\) с прямым углом \(C\) сторону \(AC\) продлили за точку \(C\) на её собственную длину до точки \(D\). Известно, что \(\angle ABD = 120^\circ\).
    1. Найдите углы треугольника \(ABC\).
      Решение:
      Пусть $AC = CD = a$. Треугольник $ABD$:
      $\angle ABD = 120^\circ$, $\angle ABC = \alpha$, $\angle BAC = 90^\circ - \alpha$
      Используя теорему синусов для $\triangle ABD$:
      $\frac{AD}{\sin 120^\circ} = \frac{AB}{\sin \angle ADB}$
      После вычислений получаем $\alpha = 30^\circ$, следовательно углы: $30^\circ$, $60^\circ$, $90^\circ$.
      Ответ: $30^\circ$, $60^\circ$, $90^\circ$.

    2. Через точку \(D\) провели прямую, параллельную \(AB\), а через точку \(B\) — прямую, параллельную \(AD\). Эти прямые пересеклись в точке \(E\). Найдите длину отрезка \(BE\), если \(AC = 7\) см.
      Решение:
      Построив параллелограмм $ADEB$, получаем $BE = AD = 2 \cdot AC = 14$ см.
      Ответ: 14 см.


  9. [*] В треугольнике \(ABC\) биссектрисы \(AA_1\) и \(BB_1\) пересекаются в точке \(M\), при этом: \[ \angle AMB = 120^\circ \] Найдите \(\angle C\).
    Решение:
    В треугольнике $AMB$:
    $\angle BAM = \frac{A}{2}$, $\angle ABM = \frac{B}{2}$
    $\frac{A}{2} + \frac{B}{2} + 120^\circ = 180^\circ \Rightarrow A + B = 120^\circ$
    Следовательно, $\angle C = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ$
    Ответ: $60^\circ$.
Материалы школы Юайти