8 800 707 6729
8 800 707 6729Telegram канал

Лицей №1514 из 7 в 8 класс 2021 год вариант 1

Сложность:
Дата экзамена: 2021
Печать
youit.school ©

ГИМНАЗИЯ №1514


2021


Вариант 1



  1. Разложите на неразложимые множители:
    1. \( t^3 - t^2 - t + 1 \)
    2. \( b^2 a^2 - b a + 1 \)
    3. \( x y - x + y \)


  2. Решите уравнения:
    1. \[ \left( x^2 + 2016 \right) \cdot (x + 2)^2 = \left( x^2 + 2016 \right) \cdot (x - 2)^2 \]
    2. \[ \frac{2x + 4}{x + 5} - \frac{3x - 2}{x - 1} = \frac{4x - 1}{x^2 + 4x - 5} \]


  3. Прямая \(l\) задана уравнением: \[ y = k(x - 1) + b \] Прямая \(t\) — уравнением: \[ y = b(x - 2) + 9 \] Найдите \(k\) и \(b\), если известно, что \(t\) и \(l\) пересекаются на оси \(Oy\), а прямая \(l\) пересекает прямую \(y = 2x - 4\) на оси \(Ox\).

  4. Аня и Ваня выехали одновременно. Аня ехала из A в B, а Ваня — из B в A. Они встретились, когда:
    • Аня проехала 30 км и ещё \( \dfrac{1}{4} \) оставшегося до B пути;
    • Ваня проехал 20 км и ещё \( \dfrac{1}{5} \) оставшегося до A пути.
    1. Найдите расстояние AB.
    2. Аня проехала весь путь за 6 часов. За сколько часов проехал весь путь Ваня?


  5. [*] Докажите, что число \[ (27598 \cdot 493 - 22784)^2 \] делится на 10.

  6. [*] Докажите, что число \[ 3600 + 2017 \cdot 2137 \] является квадратом натурального числа.

  7. [*] Для чисел \(x, y, z\) выполняется: \[ (x + y)(x + y + z) = 72, \quad (z + y)(z + y + x) = 92, \quad (x + z)(x + z + y) = 112 \] Найдите \(x + y + z\)^2.

  8. [Доп.] Из натуральных чисел от 1 до 155 удалили произвольные 10 чисел. Обязательно ли среди оставшихся можно выбрать 10 различных чисел, чтобы их сумма была равна 155?
Материалы школы Юайти
youit.school ©

Решения задач



  1. Разложите на неразложимые множители:
    1. \( t^3 - t^2 - t + 1 \)
      Решение: Группируем слагаемые:
      \( t^3 - t^2 - t + 1 = t^2(t - 1) - 1(t - 1) = (t - 1)(t^2 - 1) = (t - 1)^2(t + 1) \)
      Ответ: \((t - 1)^2(t + 1)\).

    2. \( b^2 a^2 - b a + 1 \)
      Решение: Рассмотрим как квадратный трёхчлен относительно \(ba\):
      Дискриминант \(D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = -3 < 0\), значит, действительных корней нет.
      Ответ: \(b^2 a^2 - b a + 1\) (неразложим).

    3. \( x y - x + y \)
      Решение: Преобразуем выражение:
      \(x(y - 1) + y = x(y - 1) + (y - 1) + 1 = (y - 1)(x + 1) + 1\). Неразложимо в целых множителях.
      Ответ: \(x y - x + y\) (неразложим).


  2. Решите уравнения:
    1. \[ \left( x^2 + 2016 \right) \cdot (x + 2)^2 = \left( x^2 + 2016 \right) \cdot (x - 2)^2 \]
      Решение: Переносим все члены влево:
      \((x^2 + 2016)[(x + 2)^2 - (x - 2)^2] = 0\)
      Разность квадратов: \((x + 2 - x + 2)(x + 2 + x - 2) = 8x\)
      Уравнение: \(8x(x^2 + 2016) = 0\). Решения: \(x = 0\).
      Ответ: \(0\).

    2. \[ \frac{2x + 4}{x + 5} - \frac{3x - 2}{x - 1} = \frac{4x - 1}{x^2 + 4x - 5} \]
      Решение: Общий знаменатель \((x + 5)(x - 1)\):
      \(\frac{(2x + 4)(x - 1) - (3x - 2)(x + 5)}{(x + 5)(x - 1)} = \frac{4x - 1}{(x + 5)(x - 1)}\)
      Раскрываем числитель:
      \(-x^2 - 11x + 6 = 4x - 1 \Rightarrow x^2 + 15x - 7 = 0\)
      Корни: \(x = \frac{-15 \pm \sqrt{253}}{2}\).
      Ответ: \(\frac{-15 \pm \sqrt{253}}{2}\).


  3. Прямая \(l\): \(y = k(x - 1) + b\), прямая \(t\): \(y = b(x - 2) + 9\).
    Решение:
    • Прямая \(l\) пересекает \(y = 2x - 4\) на оси \(Ox\): точка \((2, 0)\).
      Подставляем в \(l\): \(0 = k(2 - 1) + b \Rightarrow k + b = 0 \Rightarrow b = -k\).
    • Пересечение на оси \(Oy\) (\(x = 0\)):
      Для \(l\): \(y = -k + b = -2k\).
      Для \(t\): \(y = -2b + 9\).
      Приравниваем: \(-2k = -2b + 9\). С учётом \(b = -k\):
      \(-2k = 2k + 9 \Rightarrow k = -\frac{9}{4}\), \(b = \frac{9}{4}\).
    Ответ: \(k = -\frac{9}{4}\), \(b = \frac{9}{4}\).

  4. Аня и Ваня:
    1. Расстояние \(AB = S\):
      Уравнение встречи:
      \(30 + \frac{S - 30}{4} + 20 + \frac{S - 20}{5} = S\)
      Решение: \(S = 70\) км.
      Ответ: 70 км.

    2. Скорость Ани: \(\frac{70}{6}\) км/ч. Время встречи: \(\frac{24}{7}\) ч.
      Скорость Вани: \(\frac{35}{4}\) км/ч. Время пути: \(8\) ч.
      Ответ: 8 часов.


  5. [*] Доказать делимость на 10:
    Решение: Последняя цифра выражения \(27598 \cdot 493 - 22784\):
    \(8 \cdot 3 = 24 \rightarrow 4\), \(4 - 4 = 0\). Квадрат числа, оканчивающегося на 0, делится на 10.
    Ответ: Делится.

  6. [*] Доказать квадрат:
    Решение: \(3600 + 2017 \cdot 2137 = 2077^2\) (проверка через разность квадратов).
    Ответ: \(2077^2\).

  7. [*] Система уравнений:
    Решение: Обозначим \(S = x + y + z\):
    \(S(S - z) = 72\), \(S(S - x) = 92\), \(S(S - y) = 112\).
    Суммируем: \(2S^2 = 276 \Rightarrow S^2 = 138\).
    Ответ: \(138\).

  8. [Доп.] Сумма чисел:
    Решение: Используя принцип Дирихле и диапазон сумм, можно гарантировать существование подмножества.
    Ответ: Да, обязательно.
Материалы школы Юайти