Лицей №1514 из 6 в 7 класс 2022 год вариант 1

Лицей 1514

2022 год

16.06.2022

1. Вычислите: \[ \frac{0{,}34 - 0{,}34 \cdot 2{,}6}{\frac{1}{4} - 2{,}08} \]
   
   
2. Разделите число \( (24{,}1 + 1\frac{1}{4} - 0{,}75) (0{,}7 \cdot 2\frac{1}{3} - 2{,}35) \) в отношении \( 2 : 3 \).
   
   
3. Решите уравнение:
   1. \( 4{,}9 - (3x - 5) \cdot 2{,}5 = 0{,}6 \cdot (3 - 10x) \);
   2. \( -1 - \frac{3}{13} \cdot |x| = 4{,}5 : (-2{,}6) \).
   
   
   
4. Из пункта A в пункт B выехал автомобиль. Спустя 2 часа навстречу ему из пункта B выехал другой автомобиль, скорость которого на 20 км/ч больше скорости первого. К моменту выхода второго автомобиля расстояние между ними было 480 км. Через 5 часов после своего выхода второй автомобиль, разминаясь с первым, находился на расстоянии 220 км от него. Найдите скорости автомобилей.
   
   
5. В 300 г раствора содержится $3\%$ сахара. После испарения сахара стало $5\%$. Сколько весит раствор после испарения?
   
   
6. Численность волков в двух заповедниках составляла 210 особей. Через год обнаружили, что в первом заповеднике численность волков выросла на $10\%$, а во втором — на $30\%$. В результате общая численность волков в двух заповедниках составила 251. Сколько волков было в каждом из заповедников первоначально?
   
   
7. Решите одну из трёх задач на выбор:
   1. Отличник Поликарп купил общую тетрадь объёмом 96 листов и пронумеровал все её страницы по порядку числами от 1 до 192. Двоечник Колька вырвал из этой тетради 25 листов и сложил все 50 чисел, которые на них написаны. В ответе у него получилось 2022. Не ошибся ли он?
   2. Три бегуна соревновались в беге на 200 м. Когда A добежал до конца, B отставал от него на 20 м. Когда B добежал до конца, C отставал от него на 20 м. На сколько метров отставал C от A, когда A финишировал?
   3. Найдите отношение: \[ \frac{249 + 356 - 248}{249 - 356 - 107} \]

Решения задач

1. Вычислите: \[ \frac{0{,}34 - 0{,}34 \cdot 2{,}6}{\frac{1}{4} - 2{,}08} \] Решение:
   Упростим числитель и знаменатель отдельно:
   Числитель: $0{,}34 - 0{,}34 \cdot 2{,}6 = 0{,}34(1 - 2{,}6) = 0{,}34 \cdot (-1{,}6) = -0{,}544$
   Знаменатель: $\frac{1}{4} - 2{,}08 = 0{,}25 - 2{,}08 = -1{,}83$
   Тогда выражение принимает вид: \[ \frac{-0{,}544}{-1{,}83} = \frac{0{,}544}{1{,}83} \approx 0{,}297 \] Ответ: $0{,}3$.
   
   
2. Разделите число \( (24{,}1 + 1\frac{1}{4} - 0{,}75) (0{,}7 \cdot 2\frac{1}{3} - 2{,}35) \) в отношении \( 2 : 3 \).
   Решение:
   Вычислим выражение по частям:
   Первая скобка: $24{,}1 + 1{,}25 - 0{,}75 = 24{,}1 + 0{,}5 = 24{,}6$
   Вторая скобка: $0{,}7 \cdot \frac{7}{3} - 2{,}35 = \frac{4{,}9}{3} - 2{,}35 \approx 1{,}633 - 2{,}35 = -0{,}717$
   Произведение: $24{,}6 \cdot (-0{,}717) \approx -17{,}65$
   Разделим $-17{,}65$ в отношении $2:3$:
   Сумма частей: $2 + 3 = 5$
   Первая часть: $-17{,}65 \cdot \frac{2}{5} = -7{,}06$
   Вторая часть: $-17{,}65 \cdot \frac{3}{5} = -10{,}59$
   Ответ: $-7{,}06$ и $-10{,}59$.
   
   
3. Решите уравнение:
   1. \( 4{,}9 - (3x - 5) \cdot 2{,}5 = 0{,}6 \cdot (3 - 10x) \)
      Решение:
      Раскроем скобки:
      $4{,}9 - 7{,}5x + 12{,}5 = 1{,}8 - 6x$
      Упростим:
      $17{,}4 - 7{,}5x = 1{,}8 - 6x$
      Перенесем переменные влево, числа вправо:
      $-1{,}5x = -15{,}6$
      $x = \frac{-15{,}6}{-1{,}5} = 10{,}4$
      Ответ: $10{,}4$.
      
      
   2. \( -1 - \frac{3}{13} \cdot |x| = 4{,}5 : (-2{,}6) \)
      Решение:
      Вычислим правую часть:
      $4{,}5 : (-2{,}6) \approx -1{,}7307$
      Уравнение принимает вид:
      $-1 - \frac{3}{13}|x| = -1{,}7307$
      Прибавим 1 к обеим частям:
      $-\frac{3}{13}|x| = -0{,}7307$
      Умножим на $-1$:
      $\frac{3}{13}|x| = 0{,}7307$
      $|x| = \frac{0{,}7307 \cdot 13}{3} \approx 3{,}17$
      Ответ: $x = \pm 3{,}17$.
   
   
   
4. Из пункта A в пункт B выехал автомобиль. Спустя 2 часа навстречу ему из пункта B выехал другой автомобиль, скорость которого на 20 км/ч больше скорости первого. К моменту выхода второго автомобиля расстояние между ними было 480 км. Через 5 часов после своего выхода второй автомобиль, разминаясь с первым, находился на расстоянии 220 км от него. Найдите скорости автомобилей.
   Решение:
   Пусть скорость первого автомобиля $x$ км/ч, тогда скорость второго — $(x + 20)$ км/ч.
   За 2 часа первый проехал $2x$ км, оставшееся расстояние — $480$ км.
   Через 5 часов после старта второго:
   Первый проехал $2x + 5x = 7x$ км,
   Второй проехал $5(x + 20)$ км.
   Общее расстояние между ними:
   $480 - (7x + 5x + 100) = 220$
   $480 - 12x - 100 = 220$
   $380 - 12x = 220$
   $12x = 160$
   $x = \frac{160}{12} = 13\frac{1}{3}$ км/ч
   Скорость второго: $13\frac{1}{3} + 20 = 33\frac{1}{3}$ км/ч
   Ответ: $13\frac{1}{3}$ км/ч и $33\frac{1}{3}$ км/ч.
   
   
5. В 300 г раствора содержится $3\%$ сахара. После испарения сахара стало $5\%$. Сколько весит раствор после испарения?
   Решение:
   Масса сахара: $300 \cdot 0{,}03 = 9$ г
   После испарения сахар составляет 5% раствора:
   $9 = 0{,}05 \cdot m \Rightarrow m = \frac{9}{0{,}05} = 180$ г
   Ответ: 180 г.
   
   
6. Численность волков в двух заповедниках составляла 210 особей. Через год обнаружили, что в первом заповеднике численность волков выросла на $10\%$, а во втором — на $30\%$. В результате общая численность волков в двух заповедниках составила 251. Сколько волков было в каждом из заповедников первоначально?
   Решение:
   Пусть в первом заповеднике было $x$ волков, тогда во втором — $(210 - x)$.
   Уравнение:
   $1{,}1x + 1{,}3(210 - x) = 251$
   $1{,}1x + 273 - 1{,}3x = 251$
   $-0{,}2x = -22$
   $x = 110$
   Ответ: 110 и 100 волков.
   
   
7. Решите одну из трёх задач на выбор:
   1. Не ошибся ли Колька?
      Решение:
      Сумма номеров на одном листе: $n + (n + 1) = 2n + 1$
      Сумма 25 листов: $\sum (2n_i + 1) = 2\sum n_i + 25 = 2022$
      $2\sum n_i = 1997$ — нечётное число, что невозможно.
      Ответ: ошибся.
      
      
   2. На сколько метров отставал C от A?
      Решение:
      Скорости: $v_B = 0{,}9v_A$, $v_C = 0{,}9v_B = 0{,}81v_A$
      За время финиша A ($t = \frac{200}{v_A}$):
      $S_C = 0{,}81v_A \cdot t = 0{,}81 \cdot 200 = 162$ м
      Отставание: $200 - 162 = 38$ м
      Ответ: 38 м.
      
      
   3. Найдите отношение: \[ \frac{249 + 356 - 248}{249 - 356 - 107} = \frac{357}{-214} = -\frac{357}{214} \] Ответ: $-\frac{357}{214}$.