Лицей №1514 из 6 в 7 класс 2022 год

1. Вычислите: \[ \frac{0{,}45 - 0{,}45 \cdot 3{,}4}{1\tfrac12 - 1{,}1}. \]
   
   
2. Разделите число \[ \bigl(0{,}5 + 0{,}125 - 1\tfrac{1}{8}\bigr)\;\cdot\;\bigl(5 - 6{,}4 : 26\tfrac{2}{3}\bigr) \] в отношении $3:4$.
   
   
3. Решите уравнения:
   1. $0{,}8\;\bigl(1 - 4x\bigr) = 5{,}7 - 0{,}5\;\bigl(1 - 3x\bigr);$
   2. $-2{,}4 : 5\tfrac{1}{6} = -\tfrac{3}{62}\;\lvert x\rvert.$
   
   
   
4. Из пункта $A$ в пункт $B$ выехал товарный поезд. Спустя 3 часа вслед за ним выехал пассажирский поезд, скорость которого на 30км/ч больше скорости товарного. Через 15 часов после своего выхода пассажирский поезд, обогнав товарный, находился на расстоянии 300км от него. Найдите скорость товарного поезда.
   
   
5. В 200г раствора содержится 1% соли. После испарения соли стало $4\%$. Сколько весит раствор после испарения?
   
   
6. Численность лисиц в двух заповедниках составляла 230 особей. Через год обнаружили, что в первом заповеднике численность лисиц возросла на 10%, а во втором — на 20%. В результате общая численность лисиц в двух заповедниках составила 263 особи. Сколько лисиц было в каждом заповеднике первоначально?
   
   
7. Решите одну из трёх задач на выбор:
   1. Брат с сестрой пошли в магазин покупать игрушки по цене 3, 5 и 7 рублей. Вернувшись домой, они объяснили родителям, что купили десять игрушек и потратили 53 рубля. Возможно ли такое?
   2. Три бегуна соревновались в беге на 100 м. Когда $A$ добежал до конца, $B$ отставал от него на 10 м. Когда $B$ добежал до конца, $C$ отставал от него на 10 м. На сколько метров отстал $C$ от $A$, когда $A$ финишировал?
   3. Найдите отношение \[ \frac{382 + 498 \cdot 381}{382 \cdot 498 - 116}. \]
   
   
   

Решения задач

1. Вычислите: \[ \frac{0{,}45 - 0{,}45 \cdot 3{,}4}{1\tfrac{1}{2} - 1{,}1} \] Решение:
   Числитель: $0{,}45 - 0{,}45 \cdot 3{,}4 = 0{,}45(1 - 3{,}4) = -0{,}45 \cdot 2{,}4 = -1{,}08$.
   Знаменатель: $1{,}5 - 1{,}1 = 0{,}4$.
   $\frac{-1{,}08}{0{,}4} = -2{,}7$.
   Ответ: $-2{,}7$.
2. Разделите число \[ \bigl(0{,}5 + 0{,}125 - 1\tfrac{1}{8}\bigr) \cdot \bigl(5 - 6{,}4 : 26\tfrac{2}{3}\bigr) \] в отношении $3:4$.
   Решение:
   Первая скобка: $0{,}5 + 0{,}125 = 0{,}625$, $1\tfrac{1}{8} = 1{,}125$,
   $0{,}625 - 1{,}125 = -0{,}5$.
   Вторая скобка: $6{,}4 : 26\tfrac{2}{3} = 6{,}4 \cdot \frac{3}{80} = 0{,}24$,
   $5 - 0{,}24 = 4{,}76$.
   Произведение: $-0{,}5 \cdot 4{,}76 = -2{,}38$.
   Разделим $-2{,}38$ на $3+4=7$ частей: $-2{,}38 : 7 = -0{,}34$.
   Части: $3 \cdot (-0{,}34) = -1{,}02$ и $4 \cdot (-0{,}34) = -1{,}36$.
   Ответ: $-1{,}02$ и $-1{,}36$.
3. Решите уравнения:
   1. $0{,}8(1 - 4x) = 5{,}7 - 0{,}5(1 - 3x)$
      Решение:
      $0{,}8 - 3{,}2x = 5{,}7 - 0{,}5 + 1{,}5x$
      $0{,}8 - 3{,}2x = 5{,}2 + 1{,}5x$
      $-4{,}7x = 4{,}4$
      $x = \frac{-4{,}4}{4{,}7} = -\frac{44}{47}$.
      Ответ: $-\frac{44}{47}$.
   2. $-2{,}4 : 5\tfrac{1}{6} = -\tfrac{3}{62}\lvert x\rvert$
      Решение:
      $-2{,}4 : \frac{31}{6} = -\frac{3}{62}\lvert x\rvert$
      $-2{,}4 \cdot \frac{6}{31} = -\frac{3}{62}\lvert x\rvert$
      $-\frac{14{,}4}{31} = -\frac{3}{62}\lvert x\rvert$
      $\frac{14{,}4}{31} \cdot \frac{62}{3} = \lvert x\rvert$
      $\lvert x\rvert = \frac{14{,}4 \cdot 62}{93} = 9{,}6$.
      Ответ: $x = \pm9{,}6$.
4. Из пункта $A$ в пункт $B$ выехал товарный поезд. Спустя 3 часа вслед за ним выехал пассажирский поезд, скорость которого на 30км/ч больше скорости товарного. Через 15 часов после своего выхода пассажирский поезд, обогнав товарный, находился на расстоянии 300км от него. Найдите скорость товарного поезда.
   Решение:
   Пусть скорость товарного поезда $v$ км/ч, тогда пассажирского — $v + 30$ км/ч.
   За 18 часов товарный поезд проехал $18v$ км, пассажирский за 15 часов — $15(v + 30)$ км.
   Разница: $15(v + 30) - 18v = 300$
   $-3v + 450 = 300$
   $-3v = -150 \Rightarrow v = 50$ км/ч.
   Ответ: 50.
5. В 200г раствора содержится 1% соли. После испарения соли стало 4%. Сколько весит раствор после испарения?
   Решение:
   Масса соли: $200 \cdot 0{,}01 = 2$ г.
   Новый раствор: $2\text{ г} = 4% \Rightarrow x = \frac{2}{0{,}04} = 50$ г.
   Ответ: 50 г.
6. Численность лисиц в двух заповедниках составляла 230 особей. Через год обнаружили, что в первом численность возросла на $10\%$, а во втором — на $20\%$. Общая численность стала 263 особи. Сколько лисиц было в каждом заповеднике первоначально?
   Решение:
   Пусть в первом было $x$ лисиц, во втором — $230 - x$.
   Уравнение: $1{,}1x + 1{,}2(230 - x) = 263$
   $1{,}1x + 276 - 1{,}2x = 263$
   $-0{,}1x = -13 \Rightarrow x = 130$.
   Ответ: 130 и 100.
7. Решите одну из трёх задач:
   1. Брат с сестрой купили 10 игрушек на 53 рубля по цене 3, 5 и 7 рублей. Возможно ли такое?
      Решение:
      Система: $3a + 5b + 7c = 53$, $a + b + c = 10$.
      Подстановка $c =10 - a - b$:
      $3a + 5b + 7(10 - a - b) = 53$
      $-4a - 2b = -17$
      $4a + 2b = 17$ (не имеет целых решений, так как левая часть делится на 2, правая нет).
      Ответ: Невозможно.
   2. На сколько метров отстал $C$ от $A$, когда $A$ финишировал?
      Решение:
      Скорости:
      $S_A = \frac{100}{t}$, $S_B = \frac{90}{t}$, $S_C = \frac{90}{\frac{100}{S_B}} = \frac{81}{t}$.
      За время $t$ $C$ пробегает $81$ м ⇒ отставание $19$ м.
      Ответ: 19 м.
   3. Найдите отношение $\frac{382 + 498 \cdot 381}{382 \cdot 498 - 116}$.
      Решение:
      Числитель: $498 \cdot 381 + 382 = 498 \cdot (382 - 1) + 382 = 498 \cdot 382 - 498 + 382 = 498 \cdot 382 - 116$.
      Отношение равно $1$.
      Ответ: $1$.