8 800 707 6729
8 800 707 6729Telegram канал

Лицей №1514 из 6 в 7 класс 2010 год вариант 2

Сложность:
Дата экзамена: 2010
Печать
youit.school ©

ГИМНАЗИЯ №1514


2010 год


Вариант 2



  1. Расположите выражения в порядке возрастания их значений: \[ \dfrac{5}{6}, \quad -\dfrac{1}{4}, \quad -0{,}2, \quad \dfrac{3}{8}, \quad 0{,}6 - \dfrac{11}{15} \]

  2. Вычислите:
    1. а) \(0{,}03 + 0{,}07 \cdot \left(1 - \dfrac{7}{24} + \dfrac{30}{52} - \dfrac{9}{40} \right)\)
    2. б)$\dfrac{2}{15} - \dfrac{1}{6} \cdot \dfrac{5}{6}$


  3. Решите уравнение:
    1. а) $\dfrac{10 - x}{8} = \dfrac{2}{3}, \quad -1 = \dfrac{7 - x}{2}$
    2. б) $\dfrac{7}{4}(3x - 1) - 0{,}5(2x + 1) = \dfrac{1}{14}x - 1$
    3. в) $\dfrac{15}{13}x - \left( \dfrac{5}{6} - \dfrac{2}{5} \cdot \dfrac{2}{4} \right) = \dfrac{5}{7}$


  4. Решите задачи:
    1. а) Из $0{,}5$ т целлюлозной массы, содержащей 85% воды, выпарили 200 кг воды. Каков процент воды в получившейся после выпаривания массе?
    2. б) Скорость течения реки составляет — от собственной скорости лодки. Двигаясь против течения, лодка за 3 часа 15 минут проходит на 52 км меньше, чем за 5 часов двигаясь по течению. Найдите скорость движения лодки по течению.


  5. Сравните числа: \[ \dfrac{2010}{2011} \quad \text{и} \quad \dfrac{2011}{2010} \] Укажите число, заключённое между ними.

  6. * Найдите наименьшее натуральное число, которое:
    • при делении на 3 даёт остаток 2;
    • при делении на 4 — остаток 3;
    • при делении на 5 — остаток 4.
Материалы школы Юайти
youit.school ©

Решения задач



  1. Расположите выражения в порядке возрастания их значений: \[ -\dfrac{1}{4},\quad -0{,}2,\quad 0{,}6 - \dfrac{11}{15},\quad \dfrac{3}{8},\quad \dfrac{5}{6} \] Решение:
    • $\dfrac{5}{6} \approx 0{,}8333$
    • $-\dfrac{1}{4} = -0{,}25$
    • $-0{,}2 = -0{,}2$
    • $\dfrac{3}{8} = 0{,}375$
    • $0{,}6 - \dfrac{11}{15} = \dfrac{3}{5} - \dfrac{11}{15} = \dfrac{9}{15} - \dfrac{11}{15} = -\dfrac{2}{15} \approx -0{,}1333$
    Порядок возрастания: $-\dfrac{1}{4} < -0{,}2 < 0{,}6 - \dfrac{11}{15} < \dfrac{3}{8} < \dfrac{5}{6}$.
    Ответ: $-\dfrac{1}{4},\ -0{,}2,\ 0{,}6 - \dfrac{11}{15},\ \dfrac{3}{8},\ \dfrac{5}{6}$.

  2. Вычислите:
    1. \(0{,}03 + 0{,}07 \cdot \left(1 - \dfrac{7}{24} + \dfrac{30}{52} - \dfrac{9}{40} \right)\)
      Решение: \[ 1 - \dfrac{7}{24} + \dfrac{30}{52} - \dfrac{9}{40} = \dfrac{1560 - 455 + 900 - 351}{1560} = \dfrac{1654}{1560} \approx 1{,}0603 \] \[ 0{,}03 + 0{,}07 \cdot 1{,}0603 \approx 0{,}03 + 0{,}0742 = 0{,}1042 \] Ответ: 0,1042.

    2. \[ \dfrac{2}{15} - \dfrac{1}{6} \cdot \dfrac{5}{6} \] Решение: \[ \dfrac{1}{6} \cdot \dfrac{5}{6} = \dfrac{5}{36} \] \[ \dfrac{2}{15} - \dfrac{5}{36} = \dfrac{24}{180} - \dfrac{25}{180} = -\dfrac{1}{180} \] Ответ: $-\dfrac{1}{180}$.


  3. Решите уравнение:
    1. \[ \dfrac{10 - x}{8} = \dfrac{2}{3}, \quad -1 = \dfrac{7 - x}{2} \] Решение: \[ \dfrac{10 - x}{8} = \dfrac{2}{3} \quad \Rightarrow \quad 10 - x = \dfrac{16}{3} \quad \Rightarrow \quad x = 10 - \dfrac{16}{3} = \dfrac{14}{3} \] \[ -1 = \dfrac{7 - x}{2} \quad \Rightarrow \quad -2 = 7 - x \quad \Rightarrow \quad x = 9 \] Ответ: $\dfrac{14}{3}$; 9.

    2. \[ \dfrac{7}{4}(3x - 1) - 0{,}5(2x + 1) = \dfrac{1}{14}x - 1 \] Решение: \[ \dfrac{21}{4}x - \dfrac{7}{4} - x - 0{,}5 = \dfrac{1}{14}x - 1 \] \[ \dfrac{17}{4}x - \dfrac{9}{4} = \dfrac{1}{14}x - 1 \] \[ \dfrac{17}{4}x - \dfrac{1}{14}x = \dfrac{9}{4} - 1 \] \[ \dfrac{117}{28}x = \dfrac{5}{4} \quad \Rightarrow \quad x = \dfrac{35}{117} \] Ответ: $\dfrac{35}{117}$.

    3. \[ \dfrac{15}{13}x - \left( \dfrac{5}{6} - \dfrac{2}{5} \cdot \dfrac{2}{4} \right) = \dfrac{5}{7} \] Решение: \[ \dfrac{2}{5} \cdot \dfrac{2}{4} = \dfrac{1}{5} \] \[ \dfrac{5}{6} - \dfrac{1}{5} = \dfrac{19}{30} \] \[ \dfrac{15}{13}x - \dfrac{19}{30} = \dfrac{5}{7} \] \[ \dfrac{15}{13}x = \dfrac{5}{7} + \dfrac{19}{30} = \dfrac{283}{210} \] \[ x = \dfrac{283}{210} \cdot \dfrac{13}{15} = \dfrac{3679}{3150} \] Ответ: $\dfrac{3679}{3150}$.


  4. Решите задачи:
    1. Из 0{,}5 т целлюлозной массы, содержащей 85% воды, выпарили 200 кг воды. Каков процент воды в получившейся после выпаривания массе?
      Решение:
      • Исходная масса: 500 кг
      • Сухое вещество: $500 \cdot 0{,}15 = 75$ кг
      • Оставшаяся вода: $500 \cdot 0{,}85 - 200 = 225$ кг
      • Новая масса: $500 - 200 = 300$ кг
      • Процент воды: $\dfrac{225}{300} \cdot 100% = 75\%$
      Ответ: 75\%.

    2. Скорость течения реки составляет $\dfrac{1}{4}$ от собственной скорости лодки. Двигаясь против течения, лодка за 3 часа 15 минут проходит на 52 км меньше, чем за 5 часов двигаясь по течению. Найдите скорость движения лодки по течению.
      Решение:
      • Собственная скорость лодки: $v$ км/ч
      • Скорость течения: $\dfrac{v}{4}$ км/ч
      • По течению: $v + \dfrac{v}{4} = \dfrac{5v}{4}$ км/ч
      • Против течения: $v - \dfrac{v}{4} = \dfrac{3v}{4}$ км/ч
      • Разница расстояний: $5 \cdot \dfrac{5v}{4} - 3{,}25 \cdot \dfrac{3v}{4} = 52$
      • $\dfrac{25v}{4} - \dfrac{39v}{16} = 52 \quad \Rightarrow \quad \dfrac{61v}{16} = 52 \quad \Rightarrow \quad v = \dfrac{832}{61}$ км/ч
      • Скорость по течению: $\dfrac{5v}{4} = \dfrac{1040}{61} \approx 17{,}05$ км/ч
      Ответ: $\dfrac{1040}{61}$ км/ч.


  5. Сравните числа: \[ \dfrac{2010}{2011} < 1 < \dfrac{2011}{2010} \] Ответ: $\dfrac{2010}{2011} < \dfrac{2011}{2010}$. Число между ними: 1.

  6. [*] Найдите наименьшее натуральное число, которое:
    • при делении на 3 даёт остаток 2;
    • при делении на 4 — остаток 3;
    • при делении на 5 — остаток 4.
    Решение: \[ N + 1 \text{ делится на } 3, 4, 5 \quad \Rightarrow \quad N + 1 = \text{НОК}(3,4,5) = 60 \quad \Rightarrow \quad N = 59 \] Ответ: 59.
Материалы школы Юайти