Лицей №1514 из 5 в 6 класс 2021 год вариант 1

ГИМНАЗИЯ №1514

2021 год

1. Вычислите:
   1. \(56000 - (3{,}05 \cdot 5{,}6 + 175{,}16 \cdot 5{,}8)\), результат округлите до десятков.
   2. \(2347 \dfrac{1}{12} - 25 + 348 : 25 - 2346 \dfrac{1}{12} \cdot 25 - 48 : 25 - 37\)
   
   
   
2. Сравните дроби:
   1. \(\dfrac{7}{16}\) и \(\dfrac{7}{24}\)
   2. \(\dfrac{13}{330}\) и \(\dfrac{9}{220}\)
   3. \(\dfrac{41}{61}\) и \(\dfrac{411}{611}\)
   
   
   
3. Решите уравнения:
   1. \(m - \dfrac{4}{9} m = 45\)
   2. \(19 \cdot \left(x - 4\dfrac{1}{3} \right) = 6\)
   3. \(\dfrac{84}{108} = \dfrac{2y - 0{,}5}{4{,}5}\)
   
   
   
4. Упростите выражение: \[ \dfrac{7}{9} \cdot x + 2\dfrac{1}{3} - 0{,}5 \cdot x - x - \dfrac{5}{18} \]
   1. Найдите значение этого выражения при \(x = 1{,}2\)
   2. Определите, при каких значениях \(x\) значение этого выражения равно 3.
   
   
   
5. Решите задачи (любые две):
   1. Из пункта A в пункт B, расстояние между которыми 100 км, выехал автобус со скоростью 42 км/ч. Как только автобус проехал четверть пути, вслед за ним выехала машина. В пункт B они прибыли одновременно. Найдите скорость машины (в км/ч).
   2. Высота прямоугольного параллелепипеда равна \(\dfrac{8}{25}\) м, что составляет 40% от его длины, а ширина параллелепипеда составляет \(\dfrac{8}{15}\) от его высоты. Найти объём параллелепипеда.
   3. К двузначному числу сначала приписали цифру 1 справа, а затем к этому же числу — слева. Сумма двух полученных чисел равна 682. Найдите это двузначное число.
   
   
   
6. Найдутся ли одни тройки чисел \(x\), \(y\), \(z\), удовлетворяющие уравнению \[ 28 \cdot x + 30 \cdot y + 31 \cdot z = 365, \] если \(x\), \(y\), \(z\) — натуральные числа?

Решения задач

1. 1. Вычислите: \(56000 - (3{,}05 \cdot 5{,}6 + 175{,}16 \cdot 5{,}8)\), результат округлите до десятков.
      Решение:
      \(3{,}05 \cdot 5{,}6 = 17{,}08\)
      \(175{,}16 \cdot 5{,}8 = 1015{,}928\)
      \(17{,}08 + 1015{,}928 = 1033{,}008\)
      \(56000 - 1033{,}008 = 54966{,}992\)
      Округление до десятков: \(54970\).
      Ответ: \(54970\).
      
      
   2. Вычислите: \(2347 \dfrac{1}{12} - 25 + 348 : 25 - 2346 \dfrac{1}{12} \cdot 25 - 48 : 25 - 37\)
      Решение:
      Упростим выражение:
      \((2347 \dfrac{1}{12} - 2346 \dfrac{1}{12}) - 25 - 37 + (348 - 48) : 25 - 25 \cdot 2346 \dfrac{1}{12}\)
      \(1 - 62 + 300 : 25 - 58652{,}083\)
      \(-61 + 12 - 58652{,}083 = -58701{,}083\)
      Ответ: \(-58701{,}083\).
   
   
   
2. Сравните дроби:
   1. \(\dfrac{7}{16}\) и \(\dfrac{7}{24}\)
      Решение: При одинаковых числителях больше та дробь, у которой меньше знаменатель.
      \(\dfrac{7}{16} > \dfrac{7}{24}\).
      Ответ: \(\dfrac{7}{16} > \dfrac{7}{24}\).
      
      
   2. \(\dfrac{13}{330}\) и \(\dfrac{9}{220}\)
      Решение: Приведём к общему знаменателю 660:
      \(\dfrac{13}{330} = \dfrac{26}{660}\), \(\dfrac{9}{220} = \dfrac{27}{660}\).
      \(\dfrac{26}{660} < \dfrac{27}{660}\).
      Ответ: \(\dfrac{13}{330} < \dfrac{9}{220}\).
      
      
   3. \(\dfrac{41}{61}\) и \(\dfrac{411}{611}\)
      Решение: Перекрёстное умножение:
      \(41 \cdot 611 = 25051\), \(61 \cdot 411 = 25071\).
      \(25051 < 25071 \Rightarrow \dfrac{41}{61} < \dfrac{411}{611}\).
      Ответ: \(\dfrac{41}{61} < \dfrac{411}{611}\).
   
   
   
3. Решите уравнения:
   1. \(m - \dfrac{4}{9} m = 45\)
      Решение:
      \(\dfrac{5}{9}m = 45\)
      \(m = 45 \cdot \dfrac{9}{5} = 81\).
      Ответ: \(81\).
      
      
   2. \(19 \cdot \left(x - 4\dfrac{1}{3} \right) = 6\)
      Решение:
      \(x - \dfrac{13}{3} = \dfrac{6}{19}\)
      \(x = \dfrac{6}{19} + \dfrac{13}{3} = \dfrac{265}{57} \approx 4{,}649\).
      Ответ: \(\dfrac{265}{57}\).
      
      
   3. \(\dfrac{84}{108} = \dfrac{2y - 0{,}5}{4{,}5}\)
      Решение:
      \(\dfrac{7}{9} = \dfrac{2y - 0{,}5}{4{,}5}\)
      \(2y - 0{,}5 = 3{,}5\)
      \(2y = 4 \Rightarrow y = 2\).
      Ответ: \(2\).
   
   
   
4. Упростите выражение: \[ \dfrac{7}{9} \cdot x + 2\dfrac{1}{3} - 0{,}5 \cdot x - x - \dfrac{5}{18} \]
   Решение:
   \(\dfrac{7}{9}x - \dfrac{3}{2}x + \dfrac{37}{18} = -\dfrac{13}{18}x + \dfrac{37}{18}\).
   Ответ: \(-\dfrac{13}{18}x + \dfrac{37}{18}\).
   
   
   1. При \(x = 1{,}2\):
      Решение:
      \(-\dfrac{13}{18} \cdot \dfrac{6}{5} + \dfrac{37}{18} = \dfrac{107}{90} \approx 1{,}19\).
      Ответ: \(\dfrac{107}{90}\).
      
      
   2. Приравниваем к 3:
      Решение:
      \(-\dfrac{13}{18}x + \dfrac{37}{18} = 3\)
      \(-13x + 37 = 54 \Rightarrow x = -\dfrac{17}{13}\).
      Ответ: \(-\dfrac{17}{13}\).
   
   
   
5. Решите задачи:
   1. Скорость машины:
      Решение:
      Время автобуса: \(\dfrac{100}{42} \approx 2{,}381\) ч.
      Время машины: \(2{,}381 - \dfrac{25}{42} \approx 1{,}786\) ч.
      Скорость машины: \(\dfrac{100}{1{,}786} \approx 56\) км/ч.
      Ответ: \(56\) км/ч.
      
      
   2. Объём параллелепипеда:
      Решение:
      Длина: \(\dfrac{8}{25} : 0{,}4 = 0{,}8\) м.
      Ширина: \(\dfrac{8}{15} \cdot \dfrac{8}{25} = \dfrac{64}{375}\) м.
      Объём: \(\dfrac{8}{25} \cdot 0{,}8 \cdot \dfrac{64}{375} = \dfrac{2048}{46875}\) м³.
      Ответ: \(\dfrac{2048}{46875}\) м³.
      
      
   3. Двузначное число:
      Решение:
      Уравнение: \(110x + 11y + 101 = 682\).
      \(10x + y = 52{,}818\) (решения нет, ошибка в условии).
   
   
   
6. Уравнение \(28x + 30y + 31z = 365\):
   Решение:
   Подходит тройка \(x = 1\), \(y = 4\), \(z = 7\):
   \(28 \cdot 1 + 30 \cdot 4 + 31 \cdot 7 = 365\).
   Ответ: Да, например, \(x = 1\), \(y = 4\), \(z = 7\).