Лицей №1514 из 4 в 5 класс 2017 год вариант 1

ГИМНАЗИЯ №1514

2017 год

1. В примере на сложение: впишите одну и ту же цифру в каждый квадратик и другую цифру в треугольник так, чтобы равенство получилось верным. $\square$ $+$ $\triangle$ $+$ $\square$ = $\square$
2. Мышь, мышонок и сыр вместе весят 180г. Мышь весит на 100г больше, чем мышонок и сыр вместе взятые. Сыр весит в три раза меньше, чем мышонок. Сколько весит каждый из них? Ответ нужно подтвердить вычислениями.
3. Большой квадрат состоит из одного внутреннего квадрата (тёмного) и четырех равных белых прямоугольников. Периметр каждого прямоугольника равен 40 см. Найдите площадь большого квадрата.
   
4. В 8 часов 40 минут Юра вышел из дома и пошёл по прямой дороге со скоростью 6 км/ч. Через некоторое время он развернулся и с той же скоростью пошёл домой. В 11.40 Юре оставалось до дома два километра. На каком расстоянии от дома он развернулся? Объясните, как был найден ответ.
5. Четыре девочки пошли гулять и решили сделать фотографии друг с другом. Для каждого снимка какие-нибудь три из них становились в группу, а четвёртая фотографировала их. Вечером они посчитали, что Аня присутствует на 8 снимках, Таня на 6 снимках, Оля - на 3 снимках, а Катя - на 7 снимках. Сколько фотографий сделала Таня? Обоснуйте свой ответ.

Решения задач

1. В примере на сложение: $\square+\Delta+\square=\square \square$ впишите одну и ту же цифру в каждый квадратик и другую цифру в треугольник так, чтобы пример получился верным.
   Решение: Справа стоит двузначное число из одинаковых цифр. Максимальная сумма трёх цифр $9+9+9=27$, значит возможные варианты: 11 или 22.
   Для 11: $\square + \triangle + \square = 11$. Пусть $\square = 1$, тогда $\triangle = 9$.
   Для 22: $\square = 2$, тогда $\triangle = 18$ (недопустимо, так как это цифра).
   Ответ: $1 + 9 + 1 = 11$.
2. Мышь, мышонок и сыр вместе весят 180г. Мышь весит на 100г больше, чем мышонок и сыр вместе взятые. Сыр весит в три раза меньше, чем мышонок. Сколько весит каждый из них?
   Решение: Пусть вес мыши — $M$, мышонка — $K$, сыра — $S$.
   $\begin{cases} M + K + S = 180 \\ M = K + S + 100 \\ S = \frac{K}{3} \end{cases}$
   Подставляем $S$ в первое уравнение: $M + K + \frac{K}{3} = 180$.
   Из второго уравнения: $M = K + \frac{K}{3} + 100 = \frac{4K}{3} + 100$.
   Подставляем $M$ в первое уравнение: $\frac{4K}{3} + 100 + \frac{4K}{3} = 180 \Rightarrow \frac{8K}{3} = 80 \Rightarrow K = 30$ г.
   Тогда $S = \frac{30}{3} = 10$ г, $M = 30 + 10 + 100 = 140$ г.
   Ответ: мышь — 140 г, мышонок — 30 г, сыр — 10 г.
3. Большой квадрат состоит из одного внутреннего квадрата (тёмного) и четырёх равных белых прямоугольников. Периметр каждого прямоугольника равен 40 см. Найдите площадь большого квадрата.
   Решение: Пусть стороны прямоугольника — $a$ (длина) и $b$ (ширина). Периметр: $2(a + b) = 40 \Rightarrow a + b = 20$.
   Сторона большого квадрата равна $a + b = 20$ см.
   Площадь: $20^2 = 400$ см².
   Ответ: 400 см².
4. В 8 Юра выше Юра вышел из дома и пошёл со скоростью 6 км/ч. В 11:40 ему оставалось до дома 2 км. На каком расстоянии от дома он развернулся?
   Решение: Время движения: 11:40 – 8:40 = 3 часа.
   Общий путь за 3 часа: $6 \cdot 3 = 18$ км.
   Путь до разворота и обратно: $18 + 2 = 20$ км.
   Расстояние до разворота: $\frac{20}{2} = 10$ км.
   Ответ: 10 км.
5. Четыре девочки сделали фотографии, где три из них в кадре, а четвёртая фотографирует. Аня на 8 снимках, Таня на 6, Оля на 3, Катя на 7. Сколько фотографий сделала Таня?
   Решение: Общее число фотографий: $\frac{8 + 6 + 3 + 7}{3} = \frac{24}{3} = 8$.
   Таня присутствовала на 6 снимках, значит фотографировала: $8 - 6 = 2$ раза.
   Ответ: 2 фотографии.