Лицей №1514 из 4 в 5 класс 2015 год вариант 3

ГИМНАЗИЯ №1514

2015 год

Вариант 3

1. Реши уравнения (проверку делать необязательно):
   1. $3564+18=30 \cdot(6 \cdot x+78)-18$
   2. $(1000-20 \cdot x): 5 \cdot 2-60=300$
2. Выполни действия (все вычисления должны быть в чистовике):
   1. 2255-2050: (310-6720:64)
   2. $(203 \cdot 104-71604: 234): 300+100$
3. Реши задачу (с пояснениями): На рисунке изображены три квадрата с общим центром. Периметр самого маленького квадрата равен 2 дм.
   
   
   1. Чему равна площадь этого маленького квадрата?
   2. Чему равна площадь закрашенной области?
4. Реши задачу (с пояснениями): Рыцарь на коне скачет втрое быстрее, чем его оруженосец бежит. Они одновременно вышли за ворота замка. Когда рыцарь доскакал до таверны, его оруженосцу осталось бежать еще 6 миль. На каком расстоянии от ворот замка находится таверна?
5. Реши задачу(с пояснениями): Мышь, мышонок и сыр вместе весят 180 г. Мышь весит на 100г больше, чем мышонок и сыр вместе взятые. Сыр весит в три раза меньше, чем мышонок. Сколько весит каждый из них? Ответ нужно подтвердить вычислениями.
6. Реши задачу:
   1. Сумма двух чисел 946. Одно из них оканчивается нулем. Если этот нуль зачеркнуть, то получится второе число. Найдите эти числа.
   2. Мама принесла два десятка пирожных. Миша съел в два раза больше пирожных, чем Маша, а Наташа съела больше Маши, но меньше Миши. Маме, папе и бабушке досталось по одному пирожному. Сколько пирожных съел каждый?

Решения задач

1. Реши уравнения:
   1. $3564+18=30 \cdot(6 \cdot x+78)-18$
      Решение:
      $3564 + 18 = 30 \cdot (6x + 78) - 18$
      $3582 = 30 \cdot (6x + 78) - 18$
      $3582 + 18 = 30 \cdot (6x + 78)$
      $3600 = 30 \cdot (6x + 78)$
      $6x + 78 = \frac{3600}{30} = 120$
      $6x = 120 - 78 = 42$
      $x = \frac{42}{6} = 7$
      Ответ: 7.
   2. $(1000-20 \cdot x): 5 \cdot 2-60=300$
      Решение:
      $(1000 - 20x) : 5 \cdot 2 - 60 = 300$
      $(1000 - 20x) \cdot \frac{2}{5} - 60 = 300$
      $(1000 - 20x) \cdot \frac{2}{5} = 360$
      $1000 - 20x = 360 \cdot \frac{5}{2} = 900$
      $-20x = 900 - 1000 = -100$
      $x = \frac{-100}{-20} = 5$
      Ответ: 5.
2. Выполни действия:
   1. $2255-2050: (310-6720:64)$
      Решение:
      $6720 : 64 = 105$
      $310 - 105 = 205$
      $2050 : 205 = 10$
      $2255 - 10 = 2245$
      Ответ: 2245.
   2. $(203 \cdot 104-71604: 234): 300+100$
      Решение:
      $203 \cdot 104 = 21112$
      $71604 : 234 = 306$
      $21112 - 306 = 20806$
      $20806 : 300 = 69,35\overline{3}$
      $69,35\overline{3} + 100 = 169,35\overline{3}$
      Ответ: $169\frac{53}{150}$ (или 169,35).
3. Реши задачу:
   1. Площадь маленького квадрата:
      Решение:
      Периметр квадрата: $2$ дм $\Rightarrow$ сторона: $\frac{2}{4} = 0,5$ дм
      Площадь: $0,5^2 = 0,25$ дм²
      Ответ: 0,25 дм².
   2. Площадь закрашенной области:
      В условии недостаточно данных для решения. Требуется информация о размерах других квадратов.
4. Расстояние до таверны:
   Решение:
   Пусть скорость оруженосца $v$, тогда скорость рыцаря $3v$.
   Время пути рыцаря: $t = \frac{S}{3v}$
   Оруженосец за это время прошел: $v \cdot t = \frac{S}{3}$
   Осталось пройти: $S - \frac{S}{3} = 6$ миль
   $\frac{2S}{3} = 6 \Rightarrow S = 9$ миль
   Ответ: 9 миль.
5. Вес мыши, мышонка и сыра:
   Решение:
   Пусть сыр весит $x$ г, тогда мышонок $3x$ г.
   Мышь: $(3x + x) + 100 = 4x + 100$ г
   Сумма: $4x + 100 + 3x + x = 8x + 100 = 180$ г
   $8x = 80 \Rightarrow x = 10$ г
   Сыр: 10 г, мышонок: 30 г, мышь: 140 г
   Ответ: мышь — 140 г, мышонок — 30 г, сыр — 10 г.
6. Реши задачу:
   1. Два числа:
      Решение:
      Пусть первое число $10a$, второе $a$.
      $10a + a = 946 \Rightarrow 11a = 946 \Rightarrow a = 86$
      Ответ: 860 и 86.
   2. Пирожные:
      Решение:
      Всего: 24 пирожных. Взрослые съели 3, дети — 21.
      Пусть Маша съела $x$, тогда Миша $2x$, Наташа $y$ ($x < y < 2x$).
      $x + 2x + y = 21 \Rightarrow 3x + y = 21$
      Подходит $x = 5$, $y = 6$ (т.к. $5 < 6 < 10$)
      Ответ: Маша — 5, Миша — 10, Наташа — 6.