Лицей №1514 из 4 в 5 класс 2015 год вариант 1

ГИМНАЗИЯ №1514

2015 год

1. Реши уравнения (проверку делать необязательно):
   1. $x:(105-99)+10=100$
   2. $2100-\mathrm{x} \times 150+50=2000$
2. Выполни действия (все вычисления должны быть в чистовике):
   1. $8708700: 290-190$
   2. $67 \times 384-2160: 12: 6+25 \times(1084-1079) \times 12$
3. Реши задачу (с пояснениями): Длина поля прямоугольной формы на 500 m больше его ширины. Фермер, шагая с одинаковой скоростью, проходит поле по его длине за 40 минут, а по ширине - за 30 минут
   1. Чему равен периметр поля?
   2. Чему будет равна площадь огорода, если она в 5 тысяч раз меньше площади поля?
4. Реши задачу (с пояснениями): Из двух городов одновременно навстречу друг другу отправились Ваня на мотоцикле и Маша на велосипеде. Проехав некоторую часть пути, Ваня сделал остановку на 20 минут, а затем продолжил движение до встречи с Машей. Расстояние между городами составляет 88 km . Ваня ехал со скоростью $30 \mathrm{~km} / \mathbf{ч}$, а Маша - $12 \mathrm{~km} / \mathrm{ч}$.
   1. Сколько километров проехала Маша, пока Ваня стоял?
   2. Сколько всего километров до встречи с Ваней проехала Маша?
5. Реши задачу (с пояснениями): В летней математической школе Петя и Вася получили по одинаковому набору задач. После того, как Петя решил 120 задач, а Вася - 147 задач, Пете осталось решить 4 раза больше, чем Васе. Сколько всего задач было в летней школе.
6. Реши задачу:
   1. В числе 1234 цифры переставили так, что каждая из них оказалась не на своем месте. Полученное число сложили с первым. В сумме получилось четное число, все цифры которого различны. Найдите эту сумму.
   2. В семье трое братьев. Известно, что Вася родился на следующий год после того года, когда до рождения младшего из братьев оставалось 5 лет, а Ваня родился на два года раньше, чем среднему исполнилось 3.

Решения задач

1. Реши уравнения:
   1. $x:(105-99)+10=100$
      Решение:
      $x : 6 + 10 = 100$
      $x : 6 = 90$
      $x = 90 \cdot 6 = 540$
      Ответ: 540.
   2. $2100 - x \times 150 + 50 = 2000$
      Решение:
      $2150 - 150x = 2000$
      $-150x = -150$
      $x = 1$
      Ответ: 1.
2. Выполни действия:
   1. $8708700 : 290 - 190$
      Решение:
      $8708700 : 290 = 30030$
      $30030 - 190 = 29840$
      Ответ: 29840.
   2. $67 \times 384 - 2160 : 12 : 6 + 25 \times (1084 - 1079) \times 12$
      Решение:
      $67 \times 384 = 25728$
      $2160 : 12 : 6 = 30$
      $25 \times 5 \times 12 = 1500$
      $25728 - 30 + 1500 = 27198$
      Ответ: 27198.
3. Реши задачу:
   1. Периметр поля
      Решение:
      Пусть ширина $x$ м, тогда длина $x + 500$ м.
      Скорость фермера: $\frac{x + 500}{40} = \frac{x}{30}$
      $30(x + 500) = 40x$
      $10x = 15000$
      $x = 1500$ м (ширина), длина $2000$ м
      Периметр: $2 \cdot (1500 + 2000) = 7000$ м
      Ответ: 7000 м.
   2. Площадь огорода
      Решение:
      Площадь поля: $1500 \cdot 2000 = 3\,000\,000$ м²
      Площадь огорода: $\frac{3\,000\,000}{5000} = 600$ м²
      Ответ: 600 м².
4. Реши задачу:
   1. Расстояние Маши во время остановки Вани
      Решение:
      Время остановки: $20$ мин = $\frac{1}{3}$ часа
      Расстояние: $12 \cdot \frac{1}{3} = 4$ км
      Ответ: 4 км.
   2. Общее расстояние Маши до встречи
      Решение:
      Пусть время до встречи $T$ часов.
      Ваня двигался $T - \frac{1}{3}$ часа.
      Уравнение: $30(T - \frac{1}{3}) + 12T = 88$
      $42T = 98$
      $T = \frac{7}{3}$ часа
      Расстояние Маши: $12 \cdot \frac{7}{3} = 28$ км
      Ответ: 28 км.
5. Задача про Петю и Васю
   Решение:
   Пусть всего задач $N$.
   Уравнение: $N - 120 = 4(N - 147)$
   $N - 120 = 4N - 588$
   $3N = 468$
   $N = 156$
   Ответ: 156 задач.
6. Реши задачу:
   1. Сумма чисел
      Решение:
      Подходящая перестановка: 3142
      Сумма: $1234 + 3142 = 4376$
      Проверка: цифры 4, 3, 7, 6 — различные, сумма четная.
      Ответ: 4376.
   2. Возраст братьев
      Решение:
      Вася старше младшего на 6 лет, Ваня младше среднего на 5 лет.
      Порядок рождения: младший, средний (Вася), старший (Ваня).
      Ответ: Вася — средний, Ваня — старший.