Лицей №1514 из 4 в 5 класс 2014 год вариант 1

ГИМНАЗИЯ №1514

2014 год

1. Алиса выложила из карточек верный пример на сложение. Но тут пришел Чеширский Кот и поменял местами две карточки. Как видите, равенство нарушилось. Какие карточки поменял Кот?
   
2. Аня нарисовала на палке красные полоски, разделив ими палку на 3 на части. Боря на той же палке нарисовал желтые полоски, разделив палку 4 части, Вова нарисовал на той же палке зелёные полоски, разделив палку на 13 частей. Гоша разрезал палку по всем полоскам. Сколько кусков он получил?
3. Дорогу длиной 28 км разделили на три неравные части. Расстояние между серединами крайних частей равно 16 км. Найдите длину средней части.
4. Сейчас расстояние между Надей и Таней 20 км. Надя едет на самокате со скоростью 10 км/час, Таня идёт не спеша со скоростью 3 км/час. Каким может быть расстояние между ними через час?
5. У Алисы живет крокозябра. Каждый день она съедает бананов ровно в два раза больше своего веса, а каждую ночь худеет в три раза. Уезжая рано утром на четырёхдневные каникулы, Алиса оставила ей 40 кг бананов, и этого крокозябре в точности хватило. Сколько весила крокозябра, когда Алиса уезжала?

Решения задач

1. Алиса выложила из карточек верный пример на сложение. Но тут пришел Чеширский Кот и поменял местами две карточки. Какие карточки поменял Кот?
   Решение: Исходный пример: $68 + 25 = 93$. После замены карточек "6" и "2" получилось $28 + 65 = 93$, что неверно. Кот поменял цифры 6 и 2 в разрядах десятков.
   Ответ: карточки с цифрами 6 и 2.
   
   
2. Аня нарисовала на палке красные полоски, разделив палку на 3 части. Боря разделил на 4 части желтыми, Вова — на 13 частей зелеными. Гоша разрезал по всем полоскам. Сколько кусков он получил?
   Решение: Каждый набор разрезов добавляет новые деления. Общее количество разрезов:
   Красные: 2 разреза, желтые: 3 разреза, зеленые: 12 разрезов. Всего: $2 + 3 + 12 = 17$ разрезов.
   Количество кусков: $17 + 1 = 18$. Разрезы не совпадают, так как части разной длины.
   Ответ: 18 кусков.
   
   
3. Дорогу длиной 28 км разделили на три неравные части. Расстояние между серединами крайних частей равно 16 км. Найдите длину средней части.
   Решение: Пусть длины частей $a$, $b$, $c$. Тогда:
   $a + b + c = 28$
   Середина первой части: $\frac{a}{2}$
   Середина третьей части: $a + b + \frac{c}{2}$
   Расстояние между серединами: $a + b + \frac{c}{2} - \frac{a}{2} = \frac{a}{2} + b + \frac{c}{2} = 16$
   Подставляем $a + c = 28 - b$:
   $\frac{28 - b}{2} + b = 16 \implies 14 + \frac{b}{2} = 16 \implies b = 4$
   Ответ: 4 км.
   
   
4. Сейчас расстояние между Надей и Таней 20 км. Надя едет на самокате со скоростью 10 км/ч, Таня идёт со скоростью 3 км/ч. Каким может быть расстояние между ними через час?
   Решение: Возможные сценарии:
   • Движение навстречу: $20 - (10 + 3) \cdot 1 = 7$ км
   • Движение в противоположные стороны: $20 + (10 + 3) \cdot 1 = 33$ км
   • Движение в одном направлении (Надя догоняет): $20 - (10 - 3) \cdot 1 = 13$ км
   Ответ: 7 км, 13 км или 33 км.
   
   
5. У Алисы живет крокозябра. Каждый день она съедает бананов в два раза больше своего веса, а каждую ночь худеет в три раза. Алиса оставила 40 кг бананов на четыре дня. Сколько весила крокозябра?
   Решение: Пусть начальный вес $x$ кг. Каждый день:
   Съедает $2x$ кг бананов, вес становится $3x$, ночью уменьшается до $x$.
   За 4 дня суммарно съедает $4 \cdot 2x = 8x$ кг.
   Уравнение: $8x = 40 \implies x = 5$
   Ответ: 5 кг.