Лицей №1514 из 4 в 5 класс 2014 год вариант 1-1

ГИМНАЗИЯ №1514

2014 год

1. Выполни действия (все вычисления должны быть в чистовике):
   1. $26 \cdot 539-439$;
   2. $17 \cdot 534-(6204+4692 ; 23) ; 6 ; 2$.
2. Реши уравнения (проверку делать необязательно):
   1. $\mathbf{2 7} \cdot \mathbf{1 6}+4 \cdot a=864-\mathbf{3 5} \cdot \mathbf{1 2}-\mathbf{1 2}$;
   2. $2014-10014:(326-25 \cdot x)+25=2000$.
3. Реши задачу (с пояснениями): Для двух прямоугольных картин с одинаковой площадью сделали рамы. На раму для первой картины пошло 76 дм тонкой деревянной планки. Чему равна длина второй рамы, если длина первой рамы 2 m , а ширина второй рамы - 120 см?
4. Реши задачу (с пояснениями): Семь гномов решили перенести к себе драгоценные камни из восьми сундуков, хранящихся в пещере дракона. В каждом сундуке 2000 камней. Один гном может унести за раз не более 40 камней и за час каждый успевает сходить за камнями 5 раз. Сколько времени займет перенос всех камней из драконьей пещеры? Смогут ли гномы перенести все камни, пока дракон охотится с 20 часов 30 минут до 8 утра?
5. Реши задачу: После того, как пешеход прошел половину пути и 1 км, ему осталось пройти треть пути и 1 км. Чему равен весь путь?

Решения задач

1. 1. Вычислить: $26 \cdot 539 - 439$
      Решение:
      $26 \cdot 539 = 26 \cdot (500 + 39) = 26 \cdot 500 + 26 \cdot 39 = 13\,000 + 1\,014 = 14\,014$
      $14\,014 - 439 = 13\,575$
      Ответ: 13\,575.
      
      
   2. Вычислить: $17 \cdot 534 - (6204 + 4692 \div 23) \div 6 \div 2$
      Решение:
      $4692 \div 23 = 204$
      $6204 + 204 = 6408$
      $6408 \div 6 = 1068$
      $1068 \div 2 = 534$
      $17 \cdot 534 = 17 \cdot (500 + 34) = 8\,500 + 578 = 9\,078$
      $9\,078 - 534 = 8\,544$
      Ответ: 8\,544.
   
   
   
2. 1. Решить уравнение: $27 \cdot 16 + 4a = 864 - 35 \cdot 12 - 12$
      Решение:
      $27 \cdot 16 = 432$
      $35 \cdot 12 = 420$
      $432 + 4a = 864 - 420 - 12$
      $432 + 4a = 432$
      $4a = 0$
      $a = 0$
      Ответ: 0.
      
      
   2. Решить уравнение: $2014 - 10014 \div (326 - 25x) + 25 = 2000$
      Решение:
      $2014 + 25 - 2000 = 10014 \div (326 - 25x)$
      $39 = 10014 \div (326 - 25x)$
      $326 - 25x = 10014 \div 39$
      $326 - 25x = 256,769$
      $25x = 326 - 256,769$
      $25x = 69,231$
      $x = \frac{69,231}{25} \approx 2,77$
      Ответ: $\approx 2,77$.
   
   
   
3. Реши задачу: Для двух прямоугольных картин с одинаковой площадью сделали рамы. На раму для первой картины пошло 76 дм тонкой деревянной планки. Чему равна длина второй рамы, если длина первой рамы 2 м, а ширина второй рамы — 120 см?
   Решение:
   Длина первой рамы: $2$ м $= 20$ дм. Периметр первой рамы: $76$ дм.
   Ширина первой рамы: $\frac{76}{2} - 20 = 38 - 20 = 18$ дм.
   Площадь картины: $20 \cdot 18 = 360$ дм².
   Ширина второй рамы: $120$ см $= 12$ дм. Длина второй картины: $\frac{360}{12} = 30$ дм.
   Периметр второй рамы: $2 \cdot (30 + 12) = 84$ дм.
   Ответ: 84 дм.
   
   
4. Реши задачу: Семь гномов решили перенести к себе драгоценные камни из восьми сундуков, хранящихся в пещере дракона. В каждом сундуке 2000 камней. Один гном может унести за раз не более 40 камней и за час каждый успевает сходить за камнями 5 раз. Сколько времени займет перенос всех камней из драконьей пещеры? Смогут ли гномы перенести все камни, пока дракон охотится с 20 часов 30 минут до 8 утра?
   Решение:
   Всего камней: $8 \cdot 2000 = 16\,000$.
   За час один гном переносит: $40 \cdot 5 = 200$ камней.
   За час все гномы переносят: $7 \cdot 200 = 1\,400$ камней.
   Время переноса: $\frac{16\,000}{1\,400} \approx 11,43$ часа $\approx 11$ ч $26$ мин.
   Время отсутствия дракона: с $20:30$ до $8:00$ — $11$ ч $30$ мин.
   Ответ: $11$ ч $26$ мин; успеют.
   
   
5. Реши задачу: После того, как пешеход прошел половину пути и 1 км, ему осталось пройти треть пути и 1 км. Чему равен весь путь?
   Решение:
   Пусть весь путь $S$ км.
   Пройдено: $\frac{S}{2} + 1$.
   Осталось: $\frac{S}{3} + 1$.
   Уравнение: $\frac{S}{2} + 1 + \frac{S}{3} + 1 = S$
   $\frac{3S + 2S}{6} + 2 = S$
   $\frac{5S}{6} + 2 = S$
   $2 = \frac{S}{6}$
   $S = 12$
   Ответ: 12 км.