Лицей №1514 из 4 в 5 класс 2013 год вариант 1

ГИМНАЗИЯ №1514

2013 год

1. Расставьте скобки в примере $7 \times 9+12: 3-2=23$ так, чтобы равенство стало верным.
2. Найдите площадь фигуры, составленной из девяти квадратов, если периметр всей этой фигуры равен 32 см. Все маленькие квадратики одинаковые.
   
3. Вдоль беговой дорожки расставлено 19 флажков на одинаковом расстоянии друг от друга. Миша стартует у первого флажка и бежит с постоянной скоростью. Через 7 секунд он оказывается у 7 флажка. Через какое время Миша добежит до 19 флажка?
4. Маша вышла из дома, а через 12 минут оттуда же вышли Миша и Гриша. Миша шел вдвое быстрее, чем Гриша, и догнал Машу за 4 минуты. За сколько минут догонит Машу Гриша?
5. Иван, Петр и Сидор ели конфеты. Их фамилии - Иванов, Петров и Сидоров. Иванов съел на 2 конфеты меньше Ивана, Петров - на 2 конфеты меньше Петра, а Петр съел больше всех. У кого какая фамилия?

Решения задач

1. Расставьте скобки в примере $7 \times 9+12: 3-2=23$ так, чтобы равенство стало верным.
   Решение: $(7 \times 9 + 12) : 3 - 2 = (63 + 12) : 3 - 2 = 75 : 3 - 2 = 25 - 2 = 23$.
   Ответ: $(7 \times 9 + 12) : 3 - 2 = 23$.
2. Найдите площадь фигуры, составленной из девяти квадратов, если периметр всей этой фигуры равен 32 см. Все маленькие квадратики одинаковые.
   Решение: Фигура состоит из 9 квадратов, расположенных 3×3. Периметр такой фигуры равен периметру большого квадрата: $4 \cdot 3a = 12a$, где $a$ — сторона маленького квадрата.
   $12a = 32 \Rightarrow a = \frac{32}{12} = \frac{8}{3}$ см.
   Площадь одного квадрата: $\left(\frac{8}{3}\right)^2 = \frac{64}{9}$ см².
   Общая площадь: $9 \cdot \frac{64}{9} = 64$ см².
   Ответ: 64 см².
3. Вдоль беговой дорожки расставлено 19 флажков на одинаковом расстоянии друг от друга. Миша стартует у первого флажка и бежит с постоянной скоростью. Через 7 секунд он оказывается у 7 флажка. Через какое время Миша добежит до 19 флажка?
   Решение: Между 1-м и 7-м флажками 6 промежутков. Миша преодолевает их за 7 секунд:
   $6$ промежутков $\rightarrow 7$ сек $\Rightarrow 1$ промежуток $\rightarrow \frac{7}{6}$ сек.
   До 19-го флажка от старта 18 промежутков:
   $18 \cdot \frac{7}{6} = 21$ сек.
   Ответ: 21 секунда.
4. Маша вышла из дома, а через 12 минут оттуда же вышли Миша и Гриша. Миша шел вдвое быстрее, чем Гриша, и догнал Машу за 4 минуты. За сколько минут догонит Машу Гриша?
   Решение: Пусть скорость Маши — $v$, скорость Гриши — $u$, тогда скорость Миши — $2u$.
   К моменту старта Миши и Гриши Маша прошла $12v$. Миша догнал её за 4 минуты:
   $2u \cdot 4 = 12v + v \cdot 4 \Rightarrow 8u = 16v \Rightarrow u = 2v$.
   Гриша догоняет Машу:
   $u \cdot t = 12v + v \cdot t \Rightarrow 2v \cdot t = 12v + v \cdot t \Rightarrow t = 12$ минут.
   Ответ: 12 минут.
5. Иван, Петр и Сидор ели конфеты. Их фамилии - Иванов, Петров и Сидоров. Иванов съел на 2 конфеты меньше Ивана, Петров - на 2 конфеты меньше Петра, а Петр съел больше всех. У кого какая фамилия?
   Решение:
   • Пусть Иван — Петров: тогда Петров съел на 2 конфеты меньше Петра, что противоречит условию (Петр съел больше всех).
   • Пусть Петр — Сидоров: тогда Сидоров не имеет ограничений по съеденным конфетам.
   • Иванов (Сидор) съел на 2 меньше Ивана (Петрова), Петров (Иван) съел на 2 меньше Петра (Сидорова).
   Фамилии:
   Иван — Петров, Петр — Сидоров, Сидор — Иванов.
   Ответ: Иван Петров, Петр Сидоров, Сидор Иванов.